ElectriX: Rozdiel medzi revíziami
| Riadok 48: | Riadok 48: | ||
'''Použité vzťahy''' | '''Použité vzťahy''' | ||
| − | *Sériové zapojenie: R = | + | *Sériové zapojenie: <math>R = R_1 + R_2</math> |
| − | *Paralelné zapojenie: 1 | + | *Paralelné zapojenie: <math>\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}, R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}</math> |
'''Náhľad''' | '''Náhľad''' | ||
| Riadok 70: | Riadok 70: | ||
*Pre toto zapojenie platí Ohmov zákon: U=R*I, kde odpor R je súčtom odporov R1+R2; Platí teda: U=(R1+R2)*I | *Pre toto zapojenie platí Ohmov zákon: U=R*I, kde odpor R je súčtom odporov R1+R2; Platí teda: U=(R1+R2)*I | ||
*Pre úbytok napätia na jednotlivých odporoch platí: | *Pre úbytok napätia na jednotlivých odporoch platí: | ||
| − | ** U( | + | ** <math>U(R_1)=I*R_1</math> |
| − | ** U( | + | ** <math>U(R_2)=I*R_2</math> |
'''Náhľad''' | '''Náhľad''' | ||
| Riadok 84: | Riadok 84: | ||
Označíme si smery elektrického prúdu tak, ako je na nasledujúcom obrázku. | Označíme si smery elektrického prúdu tak, ako je na nasledujúcom obrázku. | ||
| − | Pre prvú slučku platí rovnica: - | + | Pre prvú slučku platí rovnica: <math>-U_1 + I_1R_1+ I_3R_3 = 0</math>. Pre druhú slučku: <math>U_2+I_2R_2-I_3R_3 = 0</math>. Pre prúdy platí: <math>I_1-I_2-I_3=0</math> |
Rovnice si môžeme prepísať nasledovne: | Rovnice si môžeme prepísať nasledovne: | ||
| − | + | ||
| − | + | <math> | |
| − | + | \begin{matrix} | |
| + | I_1R_1 & & +I_3R_3 & =U_1\\ | ||
| + | & I_2R_2 & -I_3R_3 & =U_2\\ | ||
| + | I_1 & -I_2 & -I_3 & = 0 | ||
| + | \end{matrix} | ||
| + | </math> | ||
V maticovom tvare majú rovnice tvar: | V maticovom tvare majú rovnice tvar: | ||
| − | + | ||
| − | + | <math> | |
| − | + | \begin{pmatrix} | |
| + | R_1 & 0 & R_3\\ | ||
| + | 0 & R_2 & -R_3\\ | ||
| + | 1 & -1 & -1 | ||
| + | \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} | ||
| + | I_1\\ | ||
| + | I_2\\ | ||
| + | I_3 | ||
| + | \end{pmatrix} | ||
| + | = \begin{pmatrix} | ||
| + | U_1\\ | ||
| + | -U_2\\ | ||
| + | 0 | ||
| + | \end{pmatrix} | ||
| + | </math> | ||
Túto sústavu rovníc môžeme prepísať symbolicky ako: | Túto sústavu rovníc môžeme prepísať symbolicky ako: | ||
| − | + | ||
| + | <math>\mathbf{R}\cdot \mathbf{I}=\mathbf{U}</math> | ||
| + | |||
potom je riešenie: | potom je riešenie: | ||
| − | + | ||
| − | kde R^ | + | <math>\mathbf{I}=\mathbf{R^{-1}}\cdot \mathbf{U}</math> |
| − | + | ||
| − | + | kde <math>\mathbf{R^{-1}}</math> je inverzná matica. Postup pre výpočet inverznej matice je známy <ref>http://www.cg.info.hiroshima-cu.ac.jp/~miyazaki/knowledge/teche23.html</ref><ref>http://mathworld.wolfram.com/MatrixInverse.html</ref>. Výsledná inverzná matica I má hodnotu: | |
| − | + | ||
| + | <math> | ||
| + | \mathbf{R^{-1}}=\begin{pmatrix} | ||
| + | -R_2+R_3& -R_3&-R_2R_3 \\ | ||
| + | -R_3 & -R_1-R_3 & R_1R_3\\ | ||
| + | -R_2 & R_1 & R_1R_2 | ||
| + | \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{D} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
Kde D je determinant matice: | Kde D je determinant matice: | ||
| − | + | ||
| + | <math>D = -(R_1*R_2 + R_2*R_3 + R_1*R_3)</math> | ||
| + | |||
Riešením rovnice je: | Riešením rovnice je: | ||
| − | + | <math> | |
| − | + | \mathbf{I}=\mathbf{R^{-1}}\cdot \mathbf{U} = | |
| − | + | \frac{1}{D} | |
| + | \begin{pmatrix} | ||
| + | -R_2-R_3 & -R_3 & -R_2R_3\\ | ||
| + | -R_3 & -R_1-R_3 & R_1R_3\\ | ||
| + | -R_2 & R_1 & R_1R_2 | ||
| + | \end{pmatrix} | ||
| + | \cdot \begin{pmatrix} | ||
| + | U_1\\ | ||
| + | -U_2\\ | ||
| + | 0 | ||
| + | \end{pmatrix} = | ||
| + | \frac{1}{D} | ||
| + | \begin{pmatrix} | ||
| + | -U_1(R_2+R_3) + U_2U_3\\ | ||
| + | -U_1R_3 - U_2(R_1+R_3)\\ | ||
| + | -U_1R_2-U_2R_1 | ||
| + | \end{pmatrix} | ||
| + | </math> | ||
Konečné vyjadrenie riešenia: | Konečné vyjadrenie riešenia: | ||
| − | + | ||
| − | + | <math> | |
| − | + | \begin{matrix} | |
| + | I_1 =& \frac{-U_1(R_3-R_2) + U_2R_3}{D}\\ | ||
| + | I_2 =& \frac{-U_1R_3 + U_2(R_1+R_3) }{D}\\ | ||
| + | I_3 =& \frac{-U_1R_2 + U_2R_1}{D} | ||
| + | \end{matrix} | ||
| + | </math> | ||
'''Náhľad''' | '''Náhľad''' | ||
| Riadok 127: | Riadok 180: | ||
Sústava rovníc pre tento príklad: | Sústava rovníc pre tento príklad: | ||
| − | + | ||
| − | + | <math> | |
| − | + | \begin{pmatrix} | |
| + | R_1 & R_2 & 0\\ | ||
| + | 0 & R_2 & -R_z\\ | ||
| + | 1 & -1 & -1 | ||
| + | \end{pmatrix} \cdot | ||
| + | \begin{pmatrix} | ||
| + | I_1\\ | ||
| + | I_2\\ | ||
| + | I_z | ||
| + | \end{pmatrix}= | ||
| + | \begin{pmatrix} | ||
| + | U\\ | ||
| + | 0\\ | ||
| + | 0 | ||
| + | \end{pmatrix} | ||
| + | </math> | ||
Inverzná matica R^(-1) je: | Inverzná matica R^(-1) je: | ||
| − | + | ||
| − | + | <math> | |
| − | + | \mathbf{R^{-1}}= | |
| + | \begin{pmatrix} | ||
| + | R_2+R_z & X & X\\ | ||
| + | R_z & X & X\\ | ||
| + | R_z & X & X | ||
| + | \end{pmatrix} | ||
| + | </math> | ||
| + | |||
X sú prvky matice, ktoré nepotrebujeme počítať, pretože vektor pravej strany rovnice má v druhom a treťom riadku nuly. Výsledné prúdy majú hodnoty: | X sú prvky matice, ktoré nepotrebujeme počítať, pretože vektor pravej strany rovnice má v druhom a treťom riadku nuly. Výsledné prúdy majú hodnoty: | ||
| − | + | ||
| − | + | <math>I_1= \frac{U(R_2+Rz)}{D}</math> | |
| − | + | ||
| + | <math>I_2= \frac{URz}{D}</math> | ||
| + | |||
| + | <math>I_z= \frac{UR_2}{D}</math> | ||
| + | |||
kde D je determinant matice R a je rovný: | kde D je determinant matice R a je rovný: | ||
| − | + | ||
| + | <math>D=R_1R_2 + R_2R_z + R_1R_z</math> | ||
'''Náhľad''' | '''Náhľad''' | ||
| Riadok 152: | Riadok 232: | ||
Úbytok napätia na odporoch je totožný s hodnotou napájacieho napätia U. Pre jednotlivé prúdy platia vzťahy: | Úbytok napätia na odporoch je totožný s hodnotou napájacieho napätia U. Pre jednotlivé prúdy platia vzťahy: | ||
| − | * | + | * <math>I_1 = \frac{U}{R_1}</math> |
| − | * | + | * <math>I_2 = \frac{U}{R_2}</math> |
| − | * | + | * <math>I_3 = \frac{U}{R_3}</math> |
| − | * Celkový prúd je rovný I= | + | * Celkový prúd je rovný <math>I = I_1+I_2+I_3</math> |
'''Náhľad''' | '''Náhľad''' | ||
Verzia zo dňa a času 20:45, 4. február 2013
| Jazyk EN SK | Navigácia | Android projekty -> Meracie komponenty -> ElectriX |
| Názov | ElectriX |
| Verzia | 1 (junior) |
| Opis | Výuková aplikácia pre výpočet parametrov jednoduchých elektrických obvodov. |
| Použité knižnice | Knižnica eu.sensys.measurelib |
| Ikona | 
|
| Kompatibilita | Minimálna verzia OS Android: 2.2 -FroYo (API 8) |
| Vhodné pre | Tablety, telefóny s uhlopriečkou viac ako 3" |
| Jazyk | Slovenčina (pripravujem ďalšie) |
| Stiahnutie | 
|
Obsah
Vlastnosti
- Aplikácia simuluje jednoduché elektrické obvody.
- Obsiahnuté príklady demonštrujú aplikáciu Kirhoffových zákonov.
- V aktuálnej verzii sú k dispozícii nasledovné elektrické obvody:
- Elektrický odpor - Výpočet výsledného odporu pre sériové a paralelené zapojenie
- Jednoduchý obvod - Demonštrácia Ohmovko zákona
- Odporový delič - Elektrický obvod s 2-mi rezistormi zapojenými za sebou
- Zložitejší obvod - Elektrický obvod s 2-mi slučkami
- Odporový delič so záťažou - Demoštrácia vplyvu záťaže na odporový delič napätia
- 1. Kirhoffov zákon - Elektrický obvod s 3-mi odpormi zapojenými paralelne
Hlavná obrazovka aplikácie ElecriX
Ovládanie
Zmena parametrov pripravených obvodov sa deje prostredníctvom príslušných označených posuvníkov. Po takejto zmene je okamžite prepočítaný celý obvod a hodnoty sledovaných veličín sa zobrazia na pripravených meracích prístrojoch. Pre presné zadanie hodnoty je možnosť využiť softvérovú numerickú klávesnicu, ktorá sa vyvolá kliknutím/tapnutím na časť posubníka, kde je zobrazená jeho hodnota. Tento postup je naznačený na nasledujúcom obrázku.
Analýza riešení elektrických obvodov
Elektrický odpor
Ukážka výpočtu výsledného elektrického odporu z dvoch rezistorov zapojených do série a paralelne.
Použité vzťahy
- Sériové zapojenie: [math]R = R_1 + R_2[/math]
- Paralelné zapojenie: [math]\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}, R=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}[/math]
Náhľad
Jednoduchý elektrický obvod
Ukážka výpočtu výsledného elektrického odporu z dvoch rezistorov zapojených do série a paralelne.
Použité vzťahy
- Pre toto zapojenie platí Ohmov zákon: U=R*I
- Pre výpočet prúdu teda platí: I=U/R
Náhľad
Odporový delič
Jednoduchý elektrický obvod s 2-mi rezistiormi zapojenými za sebou. Na každom odpore je úbytok napätia úmerný vzájomnému pomeru hodnôt rezistorov. Súčet týchto úbytkov je rovný napájaciemu napätiu U.
Použité vzťahy
- Pre toto zapojenie platí Ohmov zákon: U=R*I, kde odpor R je súčtom odporov R1+R2; Platí teda: U=(R1+R2)*I
- Pre úbytok napätia na jednotlivých odporoch platí:
- [math]U(R_1)=I*R_1[/math]
- [math]U(R_2)=I*R_2[/math]
Náhľad
Zložitejší obvod
Elektrický obvod s dvoma slučkami. Pre riešenie tohto obvodu sú použité 1. a 2. Kirhoffov zákon [1].
Použité vzťahy
Označíme si smery elektrického prúdu tak, ako je na nasledujúcom obrázku.
Pre prvú slučku platí rovnica: [math]-U_1 + I_1R_1+ I_3R_3 = 0[/math]. Pre druhú slučku: [math]U_2+I_2R_2-I_3R_3 = 0[/math]. Pre prúdy platí: [math]I_1-I_2-I_3=0[/math]
Rovnice si môžeme prepísať nasledovne:
[math] \begin{matrix} I_1R_1 & & +I_3R_3 & =U_1\\ & I_2R_2 & -I_3R_3 & =U_2\\ I_1 & -I_2 & -I_3 & = 0 \end{matrix} [/math]
V maticovom tvare majú rovnice tvar:
[math] \begin{pmatrix} R_1 & 0 & R_3\\ 0 & R_2 & -R_3\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} I_1\\ I_2\\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} U_1\\ -U_2\\ 0 \end{pmatrix} [/math]
Túto sústavu rovníc môžeme prepísať symbolicky ako:
[math]\mathbf{R}\cdot \mathbf{I}=\mathbf{U}[/math]
potom je riešenie:
[math]\mathbf{I}=\mathbf{R^{-1}}\cdot \mathbf{U}[/math]
kde [math]\mathbf{R^{-1}}[/math] je inverzná matica. Postup pre výpočet inverznej matice je známy [2][3]. Výsledná inverzná matica I má hodnotu:
[math] \mathbf{R^{-1}}=\begin{pmatrix} -R_2+R_3& -R_3&-R_2R_3 \\ -R_3 & -R_1-R_3 & R_1R_3\\ -R_2 & R_1 & R_1R_2 \end{pmatrix}\cdot \frac{1}{D} [/math]
Kde D je determinant matice:
[math]D = -(R_1*R_2 + R_2*R_3 + R_1*R_3)[/math]
Riešením rovnice je:
[math] \mathbf{I}=\mathbf{R^{-1}}\cdot \mathbf{U} = \frac{1}{D} \begin{pmatrix} -R_2-R_3 & -R_3 & -R_2R_3\\ -R_3 & -R_1-R_3 & R_1R_3\\ -R_2 & R_1 & R_1R_2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} U_1\\ -U_2\\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{D} \begin{pmatrix} -U_1(R_2+R_3) + U_2U_3\\ -U_1R_3 - U_2(R_1+R_3)\\ -U_1R_2-U_2R_1 \end{pmatrix} [/math]
Konečné vyjadrenie riešenia:
[math] \begin{matrix} I_1 =& \frac{-U_1(R_3-R_2) + U_2R_3}{D}\\ I_2 =& \frac{-U_1R_3 + U_2(R_1+R_3) }{D}\\ I_3 =& \frac{-U_1R_2 + U_2R_1}{D} \end{matrix} [/math]
Náhľad
Odporový delič so záťažou
Tento príklad je len špeciálnym prípadom prechádzajúceho príkladu. Rozdiel je v tom, že v druhej vetve nie je zapojený zdroj elektrického napätia. V tomto príklade nás zaujíma úbytok napätia na záťaži (odpor Rz) a prúd prechádzajúci záťažou (Iz).
Použité vzťahy
Sústava rovníc pre tento príklad:
[math] \begin{pmatrix} R_1 & R_2 & 0\\ 0 & R_2 & -R_z\\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} I_1\\ I_2\\ I_z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} U\\ 0\\ 0 \end{pmatrix} [/math]
Inverzná matica R^(-1) je:
[math] \mathbf{R^{-1}}= \begin{pmatrix} R_2+R_z & X & X\\ R_z & X & X\\ R_z & X & X \end{pmatrix} [/math]
X sú prvky matice, ktoré nepotrebujeme počítať, pretože vektor pravej strany rovnice má v druhom a treťom riadku nuly. Výsledné prúdy majú hodnoty:
[math]I_1= \frac{U(R_2+Rz)}{D}[/math]
[math]I_2= \frac{URz}{D}[/math]
[math]I_z= \frac{UR_2}{D}[/math]
kde D je determinant matice R a je rovný:
[math]D=R_1R_2 + R_2R_z + R_1R_z[/math]
Náhľad
1. Kirhoffov zákon
Nasledujúci príklad demonštruje použitie 1. Kirhoffového zákona. V obvode sú zapojené 3 rezistory v paralelnom zapojení, teda úbytok napätia na týchto rezistoroch je rovnaký. Líšia sa len hodnoty prúdov, ktoré tečú cez tieto vetvy obvodu.
Použité vzťahy
Úbytok napätia na odporoch je totožný s hodnotou napájacieho napätia U. Pre jednotlivé prúdy platia vzťahy:
- [math]I_1 = \frac{U}{R_1}[/math]
- [math]I_2 = \frac{U}{R_2}[/math]
- [math]I_3 = \frac{U}{R_3}[/math]
- Celkový prúd je rovný [math]I = I_1+I_2+I_3[/math]
Náhľad
