Testovanie štatistických hypotéz, parametrické testovanie jedného súboru, porovnávanie dvoch súborov, test dobrej zhody

Tento článok patrí do časti Kolokviálna skúška. Materiály tu uvedené sú prípravou na záverečnú štátnu (kolokviálnu) skúšku v študijnom zameraní Manažérstvo kvality produkcie na Fakulte mechatroniky TnUAD.

Testovanie štatistických hypotéz

Štatistická hypotéza je istá domnienka (tvrdenie) o vlastnostiach rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej X alebo viacerých náhodných premenných. Testovanie štatistickej hypotézy (môžeme povedať aj overovanie pravdivosti domnienky) je postup, pri ktorom na základe náhodného výberu zo základného súboru rozhodneme, či na zvolenej hladine významnosti (t. j. so spoľahlivosťou 1) danú hypotézu zamietame (neprijmeme) alebo nezamietame (prijmeme). V prípade zamietnutia prijmeme alternatívnu (opačnú) hypotézu.

Základné pojmy testovania štatistických hypotéz:

1. Nulová hypotéza H₀ je hypotéza (domnienka), ktorej platnosť overujeme. Je napr.tvaru H₀ : Q = Q₀, kde Q je parameter základného súboru a Q₀ je konkrétna konštanta. Môžeme ju zapísať aj v tvare H₀ : Q - Q₀ = 0 (porovnávanie s nulou), a preto je štandardne používaný názov nulová hypotéza.

2. Alternatívna hypotéza H₁ je hypotéza (domnienka), ktorú prijímame v prípade neprijatia nulovej hypotézy. Jej tvar závisí od samotnej formulácie testovania. Má tri základné tvary: a) pravostranná alternatívna hypotéza : H₁ : Q > Q₀; b) ľavostranná alternatívna hypotéza : H₁ : Q < Q₀; c) obojstranná alternatívna hypotéza : H₁ : Q ҂ Q₀.

3. Testovacia charakteristika G je istá konkrétna funkcia (presnejšie náhodná premenná) G = g(x1; x2; : : : ; xn), ktorá závisí od náhodného výberu. Pre každú dvojicu H₀ a H₁ má špeciálny tvar a rozdelenie pravdepodobnosti.

4. Kritická oblasť Kα alebo oblasť zamietnutia je množina (spravidla interval(y), ktorá je určená kvantilom testovacej charakteristiky

5. Hypotézu H₀ zamietame na hladine významnosti práve vtedy, keď hodnota testovacej charakteristiky G ϵ K (t. j. prijímame alternatívnu hypotézu H₁).

Etapy testovania štatistických hypotéz:

1. Formulujeme predpoklady o náhodných premenných, ktorých sa testovanie týka.

2. Zvolíme hladinu významnosti α resp. koecient spoľahlivosti γ = 1-α .

3. Formulujeme nulovú hypotézu H₀ a alternatívnu hypotézu H₁.

4. Zo získaného náhodného výberu vyčíslime hodnotu príslušnej testovacej charakteristiky G = g(x1; x2; : : : ; xn).

5. Na základe zodpovedajúceho kvantilu určíme kritickú oblasť Kα.

6. Urobíme záver testovania, ktorý spočíva - buď v zamietnutí H₀ (a teda prijatí H₁) - alebo v prijatí (nezamietnutí) H₀.

Parametrické testovanie jedného súboru

Proti sebe postavíme dve disjunktné hypotézy: - nulovú hypotézu H₀ : θ ҂ θ₀ - alternatívnu hypotézu (opačné tvrdenie k nulovej hypotéze) H₁ : θ = θ₀ (obojstranný test).

V prípade jednostranného testu staviame proti nulovej hypotéze H₀ : θ = θ₀ alternatívnu hypotézu: - pre pravostranný test H₁ : θ < θ₀ - pre ľavostranný test H₁ : θ > θ₀

K rozhodovaniu použijeme vhodnú funkciu náhodnej veličiny, ktorú nazveme testovacia štatistika (kritérium). Obor hodnôt testovacej štatistiky rozdelíme na dve disjunktné (jedna odporuje druhej) časti: - obor prijatia hypotézy H₀ - obor zamietnutia (neprijatia) hypotézy H₀

Porovnávanie dvoch súborov

Často sa v praxi stretávame so situáciou, keď chceme porovnávať dva súbory. Tým máme na mysli porovnávať parametre týchto dvoch súborov, tj. či je jeden väčší alebo menší ako druhý resp. či sa rovnajú. Porovnávať budeme zrejme stredné hodnoty týchto súborov, tj. parameter µ₁ prvého súboru s parametrom µ ₂ druhého súboru. Ako vieme najlepšími odhadmi parametra µ je výberový priemer x. Pri porovnávaní priemerov dvoch súborov môžeme testovať niekoľko hypotéz. Zaujímať nás môže, či sa priemery rovnajú alebo nie (obojstranný test), alebo či jeden menší resp. väčší ako druhý (jednostranný test). Pre uvedené situácie môžeme sformulovať nasledovné hypotézy: - H₀ : µ ₁ = µ ₂ proti - H₁ : µ ₁ ҂ µ ₂ alebo H₁ : µ ₁ > µ ₂ alebo H₁ : µ ₁ < µ ₂

Test dobrej zhody

Testujeme nimi rozdelenie početnosti ako celku. Možno nimi riešiť napr. nasledovné úlohy: • či empirický súbor pochádza zo ZS s určitými charakteristikami, • či určité teoretické rozdelenie pravdepodobností možno použiť ako model pre sledovaný výberový súbor, • či dva náhodné výbery pochádzajú z jedného súboru, a pod.

Testy dobrej zhody môžu byť:

a) parametrické

• Pearsonov test

• Fischerov test

• Romanovského test

b) neparametrické

• Kolmogorov

• Smirnov test - pre jeden výber alebo pre dva výbery.