Doporučené príklady z numerickej matematiky

Späť na "Numerická matematika"

Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc (metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi, iteračná metóda)

Uvedenými metódami (pre každý príklad si vyberte jednu) nájdite s presnosťou [math]\varepsilon ={{10}^{-5}}[/math] reálne korene rovníc, spĺňajúcich zadanú podmienku.

1. [math]{{x}^{3}}-x-1=0,\text{ }x\in \left( 1,3;\text{1}\text{,4} \right)[/math]
2. [math]{{x}^{3}}+x-1000=0,\text{ }\,[/math] najväčší kladný koreň
3. [math]{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+10x-10=0,\text{ }x\in \left( 1,5;\text{1}\text{,7} \right)[/math]
4. [math]{{x}^{2}}-\cos x=0,\text{ }x\gt 0\,[/math]
5. [math]x\tan x=1.28\,[/math], najmenší kladný koreň
6. [math]2x-\log x=7\,[/math], najmenší kladný koreň

Riešenie sústav lineárnych rovníc

Gausovou eleminačnou metódou riešte sústavy lineárnych rovníc s danou presnosťou (zadané [math]\varepsilon[/math])

1.

[math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 0,14{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,84{{x}_{3}}=1,11 \\ & 1,07{{x}_{1}}-0,83{{x}_{2}}+0,56{{x}_{3}}=0,48 \\ & 0,64{{x}_{1}}+0,43{{x}_{2}}-0,38{{x}_{3}}=-0,83 \\ \end{align}[/math]

2.

[math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 2,74{{x}_{1}}-1,18{{x}_{2}}+3,17{{x}_{3}}=2,18 \\ & 1,12{{x}_{1}}+0,83{{x}_{2}}-2,16{{x}_{3}}=-1,15 \\ & 0,81{{x}_{1}}+1,27{{x}_{2}}+0,76{{x}_{3}}=3,23 \\ \end{align}[/math]

3.

[math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 6{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=11,33 \\ & -{{x}_{1}}+6{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=32 \\ & -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-6{{x}_{3}}=42 \\ \end{align}[/math]

4.

[math]\begin{align} & 7,9{{x}_{1}}+5,6{{x}_{2}}+5,7{{x}_{3}}-7,2{{x}_{4}}=6,68 \\ & 8,5{{x}_{1}}-4,8{{x}_{2}}+0,8{{x}_{3}}+3,5{{x}_{4}}=0 \\ & 4,3{{x}_{1}}+4,2{{x}_{2}}-3,2{{x}_{3}}+9,3{{x}_{4}}=8,6 \\ & 3,2{{x}_{1}}-1,4{{x}_{2}}-8,9{{x}_{3}}+3,3{{x}_{4}}=1 \\ \end{align}[/math]

Použitím niektorej iteračnej metódy riešte

5.

[math]\begin{align} & {{x}_{1}}=0,39+0,24{{x}_{2}}-0,48{{x}_{3}}+0,23{{x}_{4}} \\ & {{x}_{2}}=0,72-0,05{{x}_{1}}+0,44{{x}_{3}}+0,31{{x}_{4}} \\ & {{x}_{3}}=0,56-0,10{{x}_{1}}+0,03{{x}_{2}}-0,55{{x}_{4}} \\ & {{x}_{4}}=0,47+0,12{{x}_{1}}-0,07{{x}_{2}}+0,11{{x}_{3}} \\ \end{align}[/math]

6.

[math]\begin{align} & \text{ }4{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,08{{x}_{3}}=8 \\ & 0,09{{x}_{1}}\text{ }+3{{x}_{2}}-0,15{{x}_{3}}=9 \\ & 0,04{{x}_{1}}-0,08{{x}_{2}}\text{ }+4{{x}_{3}}=20 \end{align}[/math]

7.

[math]\begin{align} & 2{{x}_{1}}\text{ }-{{x}_{2}}\text{ }+{{x}_{3}}=-3 \\ & 3{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}\text{ }-2{{x}_{3}}=1 \\ & {{x}_{1}}-4{{x}_{2}}+10{{x}_{3}}=0 \end{align}[/math]

8.

[math]\begin{align} & 20,9{{x}_{1}}+1,2{{x}_{2}}+2,1{{x}_{3}}+0,9{{x}_{4}}=21,7 \\ & 1,2{{x}_{1}}+21,2{{x}_{2}}+1,5{{x}_{3}}+2,5{{x}_{4}}=27,46 \\ & 2,1{{x}_{1}}+1,5{{x}_{2}}+19,8{{x}_{3}}+1,3{{x}_{4}}=28,76 \\ & 0,9{{x}_{1}}+2,5{{x}_{2}}+1,3{{x}_{3}}+32,1{{x}_{4}}=49,72 \end{align}[/math]

Interpolačné polynómy

1. Zostrojte Lagrangeov interpolačný polynóm, prechádzajúci bodmi

1. (2, 0), (4, 3), (6, 5), (8, 4), (10, 1)
2. (0, 3), (2, 1), (3, 5), (4, 7
3. (1, -7), (3, 5), (4, 8), (6, 14)
4. (2, 3), (4, 7), (5, 9), (10, 19)

2. Nájdite hodnotu funkcie zadanej tabuľkou

x	1	2	3	4	5	6	7
y	3	7	13	21	31	43	57

v bode x = 3,1 pomocou Newtonovho interpolačného polynómu.

3. Zostavte Newtonov interpolačný polynóm funkcie, ktorá je daná tabuľkou

x	0	1	2	3	4
y	1	4	15	40	85

4. Zostavte interpolačné polynómy pre funkciu [math]f\left( x \right)=\log x-\frac{x-1}{x}[/math] ak sú dané uzly

1. x = 1, 2, 4, 8, 10
2. x = 2, 4, 8, 10
3. x = 2, 4, 8
4. x = 4, 8, 10

vo všetkých prípadoch nájdite približnú hodnotu [math]\log 5.25\,[/math]

5. Sú dané hodnoty funkcie [math]f\left( x \right):f\left( 0 \right)=1,\text{ }f\left( 1 \right)=1,\text{ }f\left( 2 \right)=0,\text{ }f\left( 3 \right)=2[/math]. Zostrojte interpolačný splajn pre túto funkciu.

6. Funkcia je daná tabuľkou

xk	0,51	0,52	0,53	0,54	0,55	0,56	0,57
yk	1,6651	1,6820	1,6989	1,7160	1,7333	1,7507	1,7683

Pomocou splajnou vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x = 0,512, x = 0,535.

Numerické derivovanie, numerická integrácia

1. Nájdite hodnoty integrálu podľa lichobežníkového pravidla a preveďte odhad chyby

1. [math]I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}dx},\text{ }n=10[/math]
2. [math]I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{1+x}dx},\text{ }n=4[/math]
3. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=10[/math]
4. [math]I=\int\limits_{0}^{9}{\sqrt{6x-5}dx},\text{ }n=8[/math]
5. [math]I=\int\limits_{0,7}^{1,3}{\frac{1}{{{\left( 0,3+2{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}}dx},\text{ }n=17[/math]
6. [math]I=\int\limits_{4}^{5,2}{\ln xdx},\text{ }n=6[/math]

2. Vypočítajte integrály použitím Simpsonovho pravidla a odhadnite chybu

1. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin x}{x}dx},\text{ }n=10[/math]
2. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{1+x}dx},\text{ }n=10[/math]
3. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=10[/math]
4. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\sin {{x}^{2}}dx},\text{ }n=10[/math]
5. [math]I=\int\limits_{0}^{1,2}{\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)dx},\text{ }n=6[/math]

3. Nájdite hodnoty integrálov použitím Gaussovho kvadratúrneho vzorca so zadaným počtom uzlov

1. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=6[/math]
2. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=5[/math]

Numerické metódy integrácie obyčajných diferenciálnych rovníc

1. Eulerovou metódou riešte diferenciálne rovnice so zadanými počiatočnými podmienkami na intervalu s krokom h a 0.5h

1. [math]{y}'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\left( 6-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right),\text{ }y\left( 1 \right)=2,\text{ }a=1,\text{ }b=\frac{3}{2},\text{ }h=0,05[/math]
2. [math]{y}'=\frac{-xy}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}},\text{ }y\left( 0 \right)=e,\text{ }a=0,\text{ }b=\frac{1}{2},\text{ }h=0,05[/math]
3. [math]{y}'=-\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}y,\text{ }y\left( 0 \right)=0,\text{ }a=0,\text{ }b=1,\text{ }h=1[/math]

2. Riešte metódou Runge – Kutta na intervale [math]\left\langle a,b \right\rangle [/math] rovnice so zadanými podmienkami

1. [math]{y}'=-xy{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{-1}},\text{ }y\left( 0 \right)=2,\text{ }a=0,\text{ }b=0,3,\text{ }h=0,05[/math]
2. [math]{y}'=y+\left( 1+x \right){{y}^{2}},\text{ }y\left( 0 \right)=1,\text{ }a=0,\text{ }b=0,5,\text{ }h=0,1[/math]
3. [math]{y}'=\left( y+{{\left( {{y}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{0,5}} \right){{x}^{-1}},\text{ }y\left( 1 \right)=0,\text{ }a=1,\text{ }b=1,5,\text{ }h=0,1[/math]

Aproximácie reálnych funkcií, metóda najmenších štvorcov

1. Metódou najmenších štvorcov aproximujte lineárnou funkciou tabuľkové údaje

a)

x	1	2	3	4	5	6
y	2	4,9	7,9	11,1	14,1	17

b)

x	1	4	9	16	25
y	0,1	3	8,1	14,9	23,9

2. Metódou najmenších štvorcov aproximujte kvadratickou funkciou tabuľkové údaje

a.)

x	7	8	9	10	11	12	13
y	3,1	4,9	5,3	5,8	6,1	6,4	5,9

b.)

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-0,71	-0,01	0,51	0,82	0,88	0,81	0,49