Doporučené príklady z numerickej matematiky

Späť na "Numerická matematika"

Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc

(metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi, iteračná metóda)

Uvedenými metódami (pre každý príklad si vyberte jednu) nájdite s presnosťou [math]\varepsilon ={{10}^{-5}}[/math] reálne korene rovníc, spĺňajúcich zadanú podmienku.

1. [math]{{x}^{3}}-x-1=0,\text{ }x\in \left( 1,3;\text{1}\text{,4} \right)[/math]

2. [math]{{x}^{3}}+x-1000=0,\text{ }\,[/math] najväčší kladný koreň

3. [math]{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+10x-10=0,\text{ }x\in \left( 1,5;\text{1}\text{,7} \right)[/math]

4. [math]{{x}^{2}}-\cos x=0,\text{ }x\gt 0\,[/math]

5. [math]x\tan x=1.28\,[/math], najmenší kladný koreň

6. [math]2x-\log x=7\,[/math], najmenší kladný koreň

Riešenie sústav lineárnych rovníc

Gausovou eleminačnou metódou riešte sústavy lineárnych rovníc s danou presnosťou (zadané [math]\varepsilon[/math])

7.

[math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 0,14{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,84{{x}_{3}}=1,11 \\ & 1,07{{x}_{1}}-0,83{{x}_{2}}+0,56{{x}_{3}}=0,48 \\ & 0,64{{x}_{1}}+0,43{{x}_{2}}-0,38{{x}_{3}}=-0,83 \\ \end{align}[/math]

8.

[math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 2,74{{x}_{1}}-1,18{{x}_{2}}+3,17{{x}_{3}}=2,18 \\ & 1,12{{x}_{1}}+0,83{{x}_{2}}-2,16{{x}_{3}}=-1,15 \\ & 0,81{{x}_{1}}+1,27{{x}_{2}}+0,76{{x}_{3}}=3,23 \\ \end{align}[/math]

9.

[math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 6{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=11,33 \\ & -{{x}_{1}}+6{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=32 \\ & -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-6{{x}_{3}}=42 \\ \end{align}[/math]

10.

[math]\begin{align} & 7,9{{x}_{1}}+5,6{{x}_{2}}+5,7{{x}_{3}}-7,2{{x}_{4}}=6,68 \\ & 8,5{{x}_{1}}-4,8{{x}_{2}}+0,8{{x}_{3}}+3,5{{x}_{4}}=0 \\ & 4,3{{x}_{1}}+4,2{{x}_{2}}-3,2{{x}_{3}}+9,3{{x}_{4}}=8,6 \\ & 3,2{{x}_{1}}-1,4{{x}_{2}}-8,9{{x}_{3}}+3,3{{x}_{4}}=1 \\ \end{align}[/math]

Použitím niektorej iteračnej metódy riešte

11.

[math]\begin{align} & {{x}_{1}}=0,39+0,24{{x}_{2}}-0,48{{x}_{3}}+0,23{{x}_{4}} \\ & {{x}_{2}}=0,72-0,05{{x}_{1}}+0,44{{x}_{3}}+0,31{{x}_{4}} \\ & {{x}_{3}}=0,56-0,10{{x}_{1}}+0,03{{x}_{2}}-0,55{{x}_{4}} \\ & {{x}_{4}}=0,47+0,12{{x}_{1}}-0,07{{x}_{2}}+0,11{{x}_{3}} \\ \end{align}[/math]

12.

[math]\begin{align} & \text{ }4{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,08{{x}_{3}}=8 \\ & 0,09{{x}_{1}}\text{ }+3{{x}_{2}}-0,15{{x}_{3}}=9 \\ & 0,04{{x}_{1}}-0,08{{x}_{2}}\text{ }+4{{x}_{3}}=20 \end{align}[/math]

13.

[math]\begin{align} & 2{{x}_{1}}\text{ }-{{x}_{2}}\text{ }+{{x}_{3}}=-3 \\ & 3{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}\text{ }-2{{x}_{3}}=1 \\ & {{x}_{1}}-4{{x}_{2}}+10{{x}_{3}}=0 \end{align}[/math]

14.

[math]\begin{align} & 20,9{{x}_{1}}+1,2{{x}_{2}}+2,1{{x}_{3}}+0,9{{x}_{4}}=21,7 \\ & 1,2{{x}_{1}}+21,2{{x}_{2}}+1,5{{x}_{3}}+2,5{{x}_{4}}=27,46 \\ & 2,1{{x}_{1}}+1,5{{x}_{2}}+19,8{{x}_{3}}+1,3{{x}_{4}}=28,76 \\ & 0,9{{x}_{1}}+2,5{{x}_{2}}+1,3{{x}_{3}}+32,1{{x}_{4}}=49,72 \end{align}[/math]

Interpolačné polynómy

Zostrojte Lagrangeov interpolačný polynóm, prechádzajúci bodmi

15. (2, 0), (4, 3), (6, 5), (8, 4), (10, 1)

16. (0, 3), (2, 1), (3, 5), (4, 7

17. (1, -7), (3, 5), (4, 8), (6, 14)

18. (2, 3), (4, 7), (5, 9), (10, 19)

19. Nájdite hodnotu funkcie zadanej tabuľkou

x	1	2	3	4	5	6	7
y	3	7	13	21	31	43	57

v bode x = 3,1 pomocou Newtonovho interpolačného polynómu.

20. Zostavte Newtonov interpolačný polynóm funkcie, ktorá je daná tabuľkou

x	0	1	2	3	4
y	1	4	15	40	85

Zostavte interpolačné polynómy pre funkciu [math]f\left( x \right)=\log x-\frac{x-1}{x}[/math] ak sú dané uzly

21. x = 1, 2, 4, 8, 10

22. x = 2, 4, 8, 10

23. x = 2, 4, 8

24. x = 4, 8, 10

vo všetkých prípadoch nájdite približnú hodnotu [math]\log 5.25\,[/math]

25. Sú dané hodnoty funkcie [math]f\left( x \right):f\left( 0 \right)=1,\text{ }f\left( 1 \right)=1,\text{ }f\left( 2 \right)=0,\text{ }f\left( 3 \right)=2[/math]. Zostrojte interpolačný splajn pre túto funkciu.

26. Funkcia je daná tabuľkou

xk	0,51	0,52	0,53	0,54	0,55	0,56	0,57
yk	1,6651	1,6820	1,6989	1,7160	1,7333	1,7507	1,7683

Pomocou splajnou vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x = 0,512, x = 0,535.

Numerické derivovanie, numerická integrácia

Nájdite hodnoty integrálu podľa lichobežníkového pravidla a preveďte odhad chyby

27. [math]I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}dx},\text{ }n=10[/math]

28. [math]I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{1+x}dx},\text{ }n=4[/math]

29. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=10[/math]

30. [math]I=\int\limits_{0}^{9}{\sqrt{6x-5}dx},\text{ }n=8[/math]

31. [math]I=\int\limits_{0,7}^{1,3}{\frac{1}{{{\left( 0,3+2{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}}dx},\text{ }n=17[/math]

32. [math]I=\int\limits_{4}^{5,2}{\ln xdx},\text{ }n=6[/math]

Vypočítajte integrály použitím Simpsonovho pravidla a odhadnite chybu

33. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin x}{x}dx},\text{ }n=10[/math]

34. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{1+x}dx},\text{ }n=10[/math]

35. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=10[/math]

36. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\sin {{x}^{2}}dx},\text{ }n=10[/math]

37. [math]I=\int\limits_{0}^{1,2}{\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)dx},\text{ }n=6[/math]

Nájdite hodnoty integrálov použitím Gaussovho kvadratúrneho vzorca so zadaným počtom uzlov

38. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=6[/math]

39. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=5[/math]

Numerické metódy integrácie obyčajných diferenciálnych rovníc

Eulerovou metódou riešte diferenciálne rovnice so zadanými počiatočnými podmienkami na intervalu s krokom h a 0.5h

40. [math]{y}'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\left( 6-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right),\text{ }y\left( 1 \right)=2,\text{ }a=1,\text{ }b=\frac{3}{2},\text{ }h=0,05[/math]

41. [math]{y}'=\frac{-xy}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}},\text{ }y\left( 0 \right)=e,\text{ }a=0,\text{ }b=\frac{1}{2},\text{ }h=0,05[/math]

42. [math]{y}'=-\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}y,\text{ }y\left( 0 \right)=0,\text{ }a=0,\text{ }b=1,\text{ }h=1[/math]

Riešte metódou Runge – Kutta na intervale [math]\left\langle a,b \right\rangle [/math] rovnice so zadanými podmienkami

43. [math]{y}'=-xy{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{-1}},\text{ }y\left( 0 \right)=2,\text{ }a=0,\text{ }b=0,3,\text{ }h=0,05[/math]

44. [math]{y}'=y+\left( 1+x \right){{y}^{2}},\text{ }y\left( 0 \right)=1,\text{ }a=0,\text{ }b=0,5,\text{ }h=0,1[/math]

45. [math]{y}'=\left( y+{{\left( {{y}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{0,5}} \right){{x}^{-1}},\text{ }y\left( 1 \right)=0,\text{ }a=1,\text{ }b=1,5,\text{ }h=0,1[/math]

Aproximácie reálnych funkcií, metóda najmenších štvorcov

Metódou najmenších štvorcov aproximujte lineárnou funkciou tabuľkové údaje

46.

x	1	2	3	4	5	6
y	2	4,9	7,9	11,1	14,1	17

47.

x	1	4	9	16	25
y	0,1	3	8,1	14,9	23,9

Metódou najmenších štvorcov aproximujte kvadratickou funkciou tabuľkové údaje

48.

x	7	8	9	10	11	12	13
y	3,1	4,9	5,3	5,8	6,1	6,4	5,9

49.

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-0,71	-0,01	0,51	0,82	0,88	0,81	0,49