Diskrétne a spojité rozdelenia pravdepodobností náhodnej premennej využívané v riadení kvality produkcie

Tento článok patrí do časti Kolokviálna skúška. Materiály tu uvedené sú prípravou na záverečnú štátnu (kolokviálnu) skúšku v študijnom zameraní Manažérstvo kvality produkcie na Fakulte mechatroniky TnUAD.

V okolitom svete môžeme pozorovať pri skúmaní rôznych javov viacero modelov rozdelenia pravdepodobnosti výskytu určitého javu. Konkrétne hodnoty javu môžu vyjadrovať tak diskrétne, ako aj spojité premenné. Aj zákony rozdelenia pravdepodobnosti výskytu hodnôt týchto premenných môžeme členiť na diskrétne alebo spojité. Kým pri rozdeleniach diskrétnych premenných je na kvantifikáciu vhodnejšie používať pravdepodobnostné funkcie, pri zákonoch spojitých premenných je to funkcia hustoty pravdepodobnosti.

Diskrétne rozdelenia

1. Alternatívne rozdelenie

Máme jeden pokus, v ktorom skúmaný jav A môže nastať alebo nenastať. Napríklad vyberieme osobu, ktorá je mužského alebo nie je mužského pohlavia, výrobok, ktorý spĺňa alebo nespĺňa kvalitatívne parametre, športový klub, ktorý vyhral alebo nevyhral zápas, vrt, ktorý bol úspešný alebo nie. Výsledok pokusu označíme ako premennú x.

Skúmaný jav A nastáva (x = 1) s pravdepodobnosťou p a opačný jav A' nastáva (x = 0) s pravdepodobnosťou q = 1 - p.

Vzorec pre výpočet pravdepodobnosti, že nastane jav A a jav A' má tvar:

P(x) = p^x . (1 - p)^{1 - x}

x = 0, 1

Stredná hodnota premennej x sa rovná:

E(x) = p

Rozptyl premennej x je vyjadrený vzťahom:

D(x) = p . q = p . (1 - p)

2. Binomické rozdelenie

V individuálnom pokuse môže sledovaný jav A nastať s pravdepodobnosťou p alebo nenastať s pravdepodobnosťou q = 1 - p. Realizujeme súčasne n - krát takýto individuálny pokus, pričom pokusy musia byť štatisticky nezávislé. V rámci takejto realizácie sledovaný jav A môže nastať k - krát (k = 0, 1, 2, …, …, n).

Pravdepodobnosť, že sledovaný jav A nastane v n realizovaných pokusoch presne k - krát, sa rovná:

P(x) = [math]\tbinom{n}{k}[/math] . p^k . (1 - p)^{n - k}

Stredná hodnota počtu výskytov javu A v n pokusoch sa rovná:

E(x) = n . p

Rozptyl počtu výskytov javu A v n pokusoch je vyjadrený vzťahom:

D(x) = n . p . q = n . p . (1 - p)

Príklady binomických rozdelení:

pokus	nastal	nenastal	p	n	x
hod mincou	rub	líce	0,5	počet hodov	počet rubov
narodenie chlapca	chlapec	dievča	0,52	počet detí	počet chlapcov
náhodne vybraný výrobok	výrobok je dobrý	výrobok je zlý	podiel dobrých výrobkov	rozsah výberu	počet dobrých výrobkov vo výbere

3. Geometrické rozdelenie

Pokusy robíme dovtedy, pokiaľ prvýkrát nenastane jav A. Náhodná premenná X, ktorá znamená počet vykonaných pokusov, nadobúda hodnoty 1, 2, 3, … s pravdepodobnosťami:

P(X = k) = p(k) = p . q^{k - 1}

Charakteristická funkcia má tvar:

φ(t) = [math]\tfrac{p . e^{it}}{1 - p . e^{it}}[/math]

Stredná hodnota sa rovná:

E(X) = 1 / p

Rozptyl je definovaný vzťahom:

D(X) = q / p²

4. Hypergeometrické rozdelenie

Máme súbor, ktorý má rozsah N výrobkov (jednotiek), a v ktorom sa nachádza M výrobkov majúcich požadovanú vlastnosť A (M ≤ N). Zo súboru vyberieme n výrobkov (n < M), z ktorých požadovanú vlastnosť A má k výrobkov. Pravdepodobnosť, že v n vybraných výrobkoch bude požadovaná vlastnosť A pri k výrobkoch (k = 0, 1, …, …, n < M) sa rovná:

P(X = k) = p(k) = [math]\tfrac{\tbinom{M}{k} . \tbinom{N - M}{n - k}}{\tbinom{N}{n}}[/math]

Stredná hodnota počtu výskytov javu A v n pokusoch sa rovná:

E(X) = n . [math](\tfrac{M}{N})[/math]

Rozptyl je vyjadrený prostredníctvom vzťahu:

D(X) = n . [math](\tfrac{M}{N}) . (1 - \tfrac{M}{N}) . (\tfrac{N - n}{N - 1})[/math]

5. Poissonovo rozdelenie

Nech jav A sa vyskytuje niekoľkokrát v určitom priestore alebo intervale času s konštantou intenzitou λ.

Postupnosť objavovania javov A v čase sa nazýva tok udalostí. Tok udalostí má tieto vlastnosti:

• pravdepodobnosť objavenia sa nejakého počtu udalostí v danom časovom intervale závisí len od dĺžky tohto intervalu, a nie od jeho položenia na časovej osi.

• objavenie sa viac ako jednej udalosti v dostatočne malom časovom intervale je prakticky nemožné.

• pravdepodobnosť objavenia sa určitého počtu udalostí za určitý časový interval nezávisí od počtu udalostí objavujúcich sa v iných intervaloch času.

Nech intenzívnosť udalostí v toku udalostí sa rovná λ a predstavuje priemerný počet výskytu skúmaného javu A za jednotku času. Nech premenná X vyjadruje počet výskytu skúmaného javu A. Potom pravdepodobnosť, že jav A nastane k - krát za jednotku času, sa rovná:

P(X = k) = p(k) = [math]\tfrac{e^{-\lambda} . \lambda^k}{k!}[/math]

k = 0, 1, 2, …, …

Stredná hodnota E(X) a rozptyl D(X) počtu výskytov javu A sa zhodujú a rovnajú sa λ:

E(X) = λ

D(X) = λ

6. Rovnomerné rozdelenie

Výsledkom pokusu môže byť niekoľko rôznych javov. Označme tieto javy (možné výsledky pokusu) postupnosťou prirodzených čísel 1, 2, …, …, n. Ak pravdepodobnosť výskytu každého možného javu je rovnaká, hovoríme o rovnomernom rozdelení.

Pravdepodobnosť výskytu každého možného javu X sa rovná:

P(X = x) = p(x) = 1 / n

Stredná hodnota sa rovná:

E(X) = [math]\tfrac{n + 1}{2}[/math]

Rozptyl je vyjadrený vzťahom:

D(X) = [math]\tfrac{(n - 1 + 1)^2 - 1}{12}[/math] = [math]\tfrac{n^2 - 1}{12}[/math]

Typickou ukážkou rovnomerného rozdelenia je výsledok hádzania kockou. Pri rovnomernej kocke je pravdepodobnosť hodenia 1, 2, …, 6 rovnaká.

Spojité rozdelenia

1. Normálne rozdelenie

Normálne rozdelenie (Laplaceovo rozdelenie, Gaussovo rozdelenie) hodnôt premennej x predstavuje skupinu rozdelení, ktoré sa líšia len strednou hodnotou µ a rozptylom σ² premennej x. Je to symetrické rozdelenie so stredom v µ.

Funkcia hustoty sa rovná:

[math]f(x) = \tfrac{1}{\sigma \sqrt{2 \pi}} . e^{-\tfrac{(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}[/math]

Stredná hodnota sa rovná:

E(x) = µ

Rozptyl je vyjadrený vzťahom:

D(x) = σ²

V prípade, že sa stredná hodnota rovná nule a rozptyl sa rovná jednej, hovoríme o normovanom normálnom rozdelení. Označujeme ho N(0, 1).

Jeho funkcia sa rovná:

[math]f(x) = \tfrac{1}{\sqrt{2 \pi}} . e^{-\tfrac{x^2}{2}}[/math]

Majme náhodnú premennú x so strednou hodnotou µ a rozptylom σ². Normované normálne rozdelenie Z z premennej x dostaneme normovaním Z = (x - µ) / σ. Podobne z normovaného normálneho rozdelenia premennej Z môžeme dostať ľubovoľné normálne rozdelenie premennej x so strednou hodnotou µ a rozptylom σ² na základe vzťahu x = σ . Z + µ.

χ² - rozdelenie

Rozdelenie s n stupňami voľnosti. Je to rozdelenie náhodnej veličiny:

S = x₁² + x₂² + … + x_n²

kde x₁, x₂, …, …, x_n sú vzájomne nezávislé veličiny, z ktorých každá má normálne rozdelenie N(0, 1). Počet vzájomne nezávislých sčítancov n v súčte S sa nazýva počtom stupňov voľnosti.

Funkcia χ² - rozdelenia sa rovná:

φ(t) = (1 – 2it)^{-n / 2}

Stredná hodnota sa rovná:

E(S) = n

Rozptyl je vyjadrený vzťahom:

D(S) = 2n

t - rozdelenie

Rozdelenie s n stupňami voľnosti. Studentovo rozdelenie. Je to rozdelenie náhodnej veličiny:

[math]T = \tfrac{x_1}{\sqrt{\tfrac{x_2}{n}}}[/math]

kde x₁ a x₂ sú nezávislé náhodné veličiny, z ktorých x₁ ~ N(0, 1) a x₂ ~ χ² (n).

Studentovo rozdelenie t(n) závisí od parametra n, ktorý sa nazýva počtom stupňov voľnosti.

Stredná hodnota sa rovná:

E(T) = 0

Rozptyl je vyjadrený vzťahom:

D(T) = [math]\tfrac{n}{n - 2}[/math]

F - rozdelenie

Rozdelenie s n a m stupňami voľnosti. Fisher - Snedecorovo rozdelenie. Je to rozdelenie náhodnej veličiny:

F = [math]\tfrac{x_1}{n} : \tfrac{x_2}{m}[/math]

kde x₁ a x₂ sú nezávislé náhodné veličiny, ktoré majú rozdelenia χ² (n) a χ² (m).

Rozdelenie závisí od parametrov n a m, ktoré sú stupňami voľnosti.

Stredná hodnota sa rovná:

E(F) = [math]\tfrac{m}{m - 2}[/math]

Rozptyl je vyjadrený vzťahom:

D(F) = [math]\tfrac{2m^2 . (n + m - 2)}{n . (m - 2)^2 . (m - 4)}[/math]

2. Rovnomerné rozdelenie

Číselná os je rozdelená na oblasť, kde sa skúmaný jav môže vyskytovať a zvyšnú oblasť, kde sa skúmaný jav nevyskytuje. Nech A označuje začiatok oblasti výskytu a B označuje koniec oblasti výskytu. Výsledkom skúmaného javu je reálne číslo x z intervalu (A, B).

V prípade rovnomerného rozdelenia vo všetkých bodoch oblasti od A po B je rovnaká možnosť (pravdepodobnosť) výskytu skúmaného javu. Vzhľadom na to, že ide o spojité rozdelenie, v oblasti od A po B je nespočítateľne veľa bodov, t.j. pravdepodobnosť výskytu určitého konkrétneho bodu sa limitne rovná nule.

Funkcia hustoty rozdelenia sa rovná:

f(x) = [math]\begin{cases} \tfrac{1}{B - A} & x \in (A, B) \\ 0 & x \notin (A, B) \end{cases}[/math]

Stredná hodnota sa rovná:

E(x) = [math]\tfrac{A + B}{2}[/math]

Rozptyl je vyjadrený vzťahom:

D(x) = [math]\tfrac{(B - A)^2}{12}[/math]

3. Exponenciálne rozdelenie

Majme tok udalostí s intenzitou λ udalostí za jednotku času. Zaveďme spojitú náhodnú veličinu t, čo je časový interval medzi objavmi sa dvoch po sebe idúcich udalostí. Je zrejmé, že t má len nezáporné hodnoty (t ≥ 0). Funkcia hustoty dĺžky časového intervalu t medzi výskytom dvoch po sebe idúcich udalostí A má tvar:

f(t) = λ . e^{-λ . t}

t ≥ 0

f(t, λ) = 0

t < 0

Stredná hodnota premennej t sa rovná:

E(t) = 1 / λ

Rozptyl môžeme vyjadriť pomocou vzťahu:

D(t) = 1 / λ²

Uvedené vzorce platia za predpokladu, že minimálna šírka intervalu sa rovná nule.

Exponenciálne a Poissonovo rozdelenie vyjadrujú svojim spôsobom tú istú podstatu z rôznych pohľadov. Kým pri Poissonovom rozdelení ide o pravdepodobnosť výskytu určitého počtu javov za jednotku času, pri exponenciálnom rozdelení nám ide o pravdepodobnosť dĺžky intervalu medzi dvoma výskytami javu. Čím je časový interval medzi výskytami dvoch javov dlhší, tým je pravdepodobnosť výskytu tohto intervalu nižšia.

4. Lognormálne rozdelenie

Logaritmicko - normálne (lognormálne) rozdelenie sa pomerne často používa v ekonomických aplikáciách. Je to taká spojitá premenná x, ktorá nadobúda hodnoty x > 0 a jej logaritmus, t.j. premenná y = ln x má normálne rozdelenie.

Stredná hodnota premennej sa rovná:

E(y) = E (ln x)

Rozptyl je daný prostredníctvom vzťahu:

D(y) = D (ln x)

Rozdelenie sa používa pre modelovanie asymetricky rozdelených premenných. Známe sú pokusy využiť lognormálne rozdelenie na modelovanie rozdelenia súboru príjmov alebo miezd.

5. Weibullovo rozdelenie

Weibullovo rozdelenie patrí k asymetrickým rozdeleniam. Často s vyskytuje pri modelovaní technických parametrov. Má tri parametre. Parameter polohy γ sa zvyčajne rovná nule. Na modelovanie sa používajú parametre α > 0 (tvaru rozdelenia, shape) a β > 0 (škála, mierka rozdelenia, scale).

Funkcia hustoty f(x) sa pre x > γ rovná:

[math]f(x) = \tfrac{\alpha}{\beta} . (\tfrac{x - \gamma}{\beta})^{\alpha - 1} . e^{-(\tfrac{x - \gamma}{\beta})^{\alpha}}[/math]

a v ostatných prípadoch má nulovú hustotu.

Distribučná funkcia F(x) je daná vzťahom:

[math]F(x) = 1 - e^{-(\tfrac{x - \gamma}{\beta})^{\alpha}}[/math]

Stredná hodnota a rozptyl majú zložité tvary vyjadrené prostredníctvom gama funkcií. V prípade, že γ = 0 a β = 1, Weibullovo rozdelenie sa redukuje na exponenciálne rozdelenie s parametrom γ = 1 / α.