Vzorkovací teorém: Rozdiel medzi revíziami

Z Kiwiki
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
d
 
(29 medziľahlých úprav od 3 ďalších používateľov nie je zobrazených)
Riadok 1: Riadok 1:
−
<H1_CSS chapter="1" />
+
[[Category:Prevodníky]]
 +
__NOTOC__
 +
{{sablona_prevodníky}}
 
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=
 
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=
  
 +
[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|650px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]
  
−
[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu 2.png|center|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]
 
  
 +
:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δ<sub>T</sub>(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δ<sub>T</sub>(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω<sub>0</sub>=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.    <ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>
  
−
:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δ<sub>T</sub>(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δ<sub>T</sub>(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω<sub>0</sub>=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.
+
 
 +
<references/>
  
 
=Vzorkovacia teoréma=
 
=Vzorkovacia teoréma=
Riadok 12: Riadok 16:
 
:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)
 
:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)
  
−
[[Súbor:1.png|center|1]]
 
  
 +
{{Vzorec|:::<math>X(\omega) =
 +
\begin{cases}
 +
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
 +
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
 +
\end{cases}</math>,|1}}
  
 
:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch
 
:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch
  
−
[[Súbor:2.png|center|2]]
+
{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}
−
 
 
  
 
:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.
 
:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.
  
  
−
[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|Ideálne vzorkovanie]]
+
[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]
  
  
Riadok 37: Riadok 44:
 
:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ω<sub>m</sub>''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ω<sub>m</sub>'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δ<sub>T</sub>(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''x<sub>v</sub>(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):
 
:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ω<sub>m</sub>''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ω<sub>m</sub>'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δ<sub>T</sub>(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''x<sub>v</sub>(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):
  
−
[[Súbor:3.png|center|3]]
+
{{Vzorec|:::<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}
 +
 
 +
:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δ<sub>T</sub>(t)''''' je '''''ω<sub>v</sub>δω<sub>v</sub>(ω)''''', kde '''''ω<sub>v</sub>=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:
  
 +
{{Vzorec|:::<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,
  
−
:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δ<sub>T</sub>(t)''''' je '''''ω<sub>v</sub>δω<sub>v</sub>(ω)''''', kde '''''ω<sub>v</sub>=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:
+
:::<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,
  
−
[[Súbor:4.png|center|4]]
+
:::<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}
  
  
 
:Po úprave ('''''4'''''):
 
:Po úprave ('''''4'''''):
  
−
[[Súbor:5.png|center|5]]
+
{{Vzorec|:::<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}
  
 +
:kde
  
−
:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]
+
{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}
  
  
 
:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''X<sub>v</sub>(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ω<sub>v</sub>''''', ktorá musí spĺňať podmienku:
 
:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''X<sub>v</sub>(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ω<sub>v</sub>''''', ktorá musí spĺňať podmienku:
  
−
[[Súbor:6.png|center|6]]
+
{{Vzorec|:::<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}
 +
 
 +
:z čoho vyplýva:
 +
 
 +
{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}
 +
 
 +
[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|600px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]
 +
 
 +
 
 +
:Spektrum '''''X<sub>v</sub>(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''x<sub>v</sub>(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):
 +
 
 +
{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}
 +
 
 +
:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2f<sub>m</sub>''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty  vzorkovaného signálu '''''x<sub>v</sub>(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''X<sub>v</sub>(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.
 +
 
 +
:Frekvencia
 +
 
 +
{{Vzorec|:::<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}
  
 +
:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.
  
−
:z čoho vyplýva:
+
:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom
 +
 
 +
{{Vzorec|:::<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}
 +
 
 +
:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.
 +
 
 +
[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|650px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]
 +
 
 +
 
 +
:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''f<sub>v</sub>=1/T''''' vzťahom:
 +
 
 +
{{Vzorec|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}
 +
 
 +
::<ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>
 +
 
 +
 
 +
<references/>
 +
 
 +
=Zdroj literatúry=
 +
 
 +
[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.
 +
 
 +
[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.
 +
 
 +
 
 +
Ďalšia literatúra:
 +
 
 +
[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc
  
−
[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]
+
[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf
  
−
==Zdroj literatúry==
+
[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf
  
−
1. .
+
[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Aktuálna revízia z 21:47, 4. apríl 2013

Predmet: Prevodníky

Témy seminárnych prác

Princíp A/D a D/A prevodníkov

Realizácia A/D a D/A prevodníkov

Obvody A/D a D/A prevodníkov

Lineárne úprava signálov

Nelineárna úprava signálov

Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu

Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu


Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na obr. 1 je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov δT(t), ktorou vynásobíme časovo spojitý signál x(t). Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na obr. 2. Periodická postupnosť δT(t) je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda T ako vzorkovacia perióda a základná kruhová frekvencia ω0=2π/T ako vzorkovacia kruhová frekvencia. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy T medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu. [1][2][3]


  1. ↑ http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc
  2. ↑ http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf
  3. ↑ http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

Vzorkovacia teoréma

Každý časový priebeh x(t), ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou ωm=2πfm (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)


[math]X(\omega) = \begin{cases} definovane\quad pre\big|\omega\big|\lt \omega_m\\ 0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|\gt \omega_m \end{cases}[/math],
 (1)
je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch
[math]T\le\frac{1}{2f_m}[/math],
 (2)
kde T je perióda vzorkovania.


Obr. 2. Ideálne vzorkovanie


Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako Nyquistova, Shannonova, alebo Koteľnikova teoréma.


Analógový signál x(t) sa vzorkuje každých T sekúnd T=1/2fm alebo v intervaloch kratších ako T=1/2fm sekúnd (T<1/2fm). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli x(t) pre každú z hodnôt t. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia fm modulového spektra X(ω) spojitého signálu x(t).


Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať minimálne dvakrát v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.


Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál x(t), ktorého funkcia spektrálnej hustoty X(ω) je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad ωm (obr. 3 a). To znamená, že funkcia X(ω) je nulová pre |ω|>ωm. Vynásobime signál x(t) periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov δT(t). Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch T s veľkosťou x[nT] rovnajúcou sa hodnote x(t) v čase t=nT. Súčin x(t)δT(t) predstavuje vzorkovaný signál xv(t), ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch T (obr. 3 b):
[math]x_v=x(t)\delta_T(t)[/math].
 (3)
Funkciou spektrálnej hustoty signálu x(t) je X(ω) a Fourierov obraz δT(t) je ωvδωv(ω), kde ωv=2π/T. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:
[math]x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)[/math],
[math]\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)[/math],
[math]x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big][/math].
 (4)


Po úprave (4):
[math]x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr][/math],
 (5)
kde
[math]\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}[/math].
 (5-2)


Vzťah (5) je znázornený na obr. 3 c. Vidíme, že Xv(ω) sa opakuje s periódou ωv, ktorá musí spĺňať podmienku:
[math]x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m[/math],
 (6)
z čoho vyplýva:
[math]T\le\frac{1}{2f_m}[/math].
 (6-2)
Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu


Spektrum Xv(ω) vzorkovaného signálu xv(t) odvodíme zo vzťahu (5):
[math]\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big][/math]
 (7)
Zo vzťahu (7) a z obr. 3.c vidno, že ak vzorkujeme signál x(t) v rovnomerných časových intervaloch T≤1/2fm sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu xv(t) (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o Xv(ω), a tým aj o pôvodnom signáli x(t). Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami x[nT]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu x(t).
Frekvencia
[math]f_v=\frac{1}{T}=2f_m[/math]
 (7-2)
sa nazýva Nyquistova frekvencia (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.
Periodické alebo rovnomerné vzorkovanie je opísané vzťahom
[math]x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)[/math]
 (7-3)
Proces periodického vzorkovania je znázornený na obr. 4.
Obr. 4. Proces periodického vzorkovania


Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými t a n signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania fv=1/T vzťahom:
[math]t=nT=\frac{n}{f_v}[/math]
 (7-4)
[1][2][3]


  1. ↑ http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc
  2. ↑ http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf
  3. ↑ http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

Zdroj literatúry

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.


Ďalšia literatúra:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Zdroj: „http://www.kiwiki.info/index.php?title=Vzorkovací_teorém&oldid=11601“