Numerická integrácia Simpsonovou metódou (Python): Rozdiel medzi revíziami
Skočit na navigaci
Skočit na vyhledávání
(Vytvorená stránka „Numerické integrovanie Simpsonovou metódou využíva aproximáciu pôvodnej funkcie pomocou paraboly. Hodnotu funkcie f(x) nahradíme pre všetky body x z podintervalu <x…“) |
|||
| (4 medziľahlé úpravy od 2 ďalších používateľov nie sú zobrazené) | |||
| Riadok 1: | Riadok 1: | ||
| + | {{sablona_python_priklady|Matematika}} | ||
Numerické integrovanie Simpsonovou metódou využíva aproximáciu pôvodnej funkcie pomocou paraboly. Hodnotu funkcie f(x) nahradíme pre všetky body x z podintervalu <x<sub>2k-1</sub>,x<sub>2k+1</sub>> parabolou prechádzajúcou bodmi f(x<sub>2k-1</sub>),f(x<sub>2k</sub>),f(x<sub>2k+1</sub>). | Numerické integrovanie Simpsonovou metódou využíva aproximáciu pôvodnej funkcie pomocou paraboly. Hodnotu funkcie f(x) nahradíme pre všetky body x z podintervalu <x<sub>2k-1</sub>,x<sub>2k+1</sub>> parabolou prechádzajúcou bodmi f(x<sub>2k-1</sub>),f(x<sub>2k</sub>),f(x<sub>2k+1</sub>). | ||
f(x<sub>2k-1</sub>)=Ah<sup>2</sup>-Bh+C | f(x<sub>2k-1</sub>)=Ah<sup>2</sup>-Bh+C | ||
| Riadok 4: | Riadok 5: | ||
f(x<sub>2k+1</sub>)=Ah<sup>2</sup>+Bh+C | f(x<sub>2k+1</sub>)=Ah<sup>2</sup>+Bh+C | ||
kde A,B,C sú neznáme parametre funkcie. | kde A,B,C sú neznáme parametre funkcie. | ||
| − | |||
| + | [[Súbor:Simpson_rule_resize.png]] [[Súbor:Simpsons_method_illustration_resize.png]] | ||
| + | |||
| + | Integrovaný interval <a,b> pod parabolou je rozdelený na 2r intervalov s veľkosťou <math>h=\frac{b-a}{2r}</math>. | ||
| + | Integrál je potom možné vypočítať podľa vzťahu: | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <math> \int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d}x </math><math> = \frac{b-a}{6r}</math><math>*{f(x_0)+4*[f(x_1)+f(x_3)+...f(x_2r-1)]+2[f(x_2)+f(x_4)+...f(x_2r-2)]+f(x_2r)}</math> | ||
| − | |||
<source lang="python"> | <source lang="python"> | ||
# Numerické integrovanie Simpsonovou metódou | # Numerické integrovanie Simpsonovou metódou | ||
| − | |||
# Simpsonova metóda spočíva v nahradení integrovanej funkcie parabolou prechádzajúcou troma bodmi | # Simpsonova metóda spočíva v nahradení integrovanej funkcie parabolou prechádzajúcou troma bodmi | ||
| − | |||
# na začiatku použivateľ zadá funkciu (sin(x),cos(x),tan(x),x^2,ln(x),exp(x)) | # na začiatku použivateľ zadá funkciu (sin(x),cos(x),tan(x),x^2,ln(x),exp(x)) | ||
| − | |||
# potom zadá interval, na ktorom sa má funkcia zintegrovať | # potom zadá interval, na ktorom sa má funkcia zintegrovať | ||
| − | |||
# a nakoniec zadá presnosť, resp. krok, s akým ju chce zintegrovať | # a nakoniec zadá presnosť, resp. krok, s akým ju chce zintegrovať | ||
| − | |||
| − | |||
import math | import math | ||
| − | |||
| − | |||
print("Funkcie, ktoré môžete zadať, sú: sin(x),cos(x),tan(x),x^2,ln(x),exp(x)") | print("Funkcie, ktoré môžete zadať, sú: sin(x),cos(x),tan(x),x^2,ln(x),exp(x)") | ||
| − | |||
funkcia = input("Zadajte funkciu, pod ktorou chcete vypočítať obsah: ") | funkcia = input("Zadajte funkciu, pod ktorou chcete vypočítať obsah: ") | ||
| − | |||
a = input("Zadajte spodnú hranicu intervalu, v ktorom chcete integrovať: ") | a = input("Zadajte spodnú hranicu intervalu, v ktorom chcete integrovať: ") | ||
| − | |||
b = input("Zadajte hornú hranicu intervalu, v ktorom chcete integrovať: ") | b = input("Zadajte hornú hranicu intervalu, v ktorom chcete integrovať: ") | ||
| − | |||
krok = input("Zadajte krok, s ktorým chcete integrovať: ") | krok = input("Zadajte krok, s ktorým chcete integrovať: ") | ||
| − | |||
| − | |||
f=[] | f=[] | ||
| − | |||
x=float(a) | x=float(a) | ||
| − | |||
krok=float(krok) | krok=float(krok) | ||
| − | |||
a=float(a) | a=float(a) | ||
| − | |||
b=float(b) | b=float(b) | ||
| − | |||
i=0 | i=0 | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
if funkcia=="sin(x)": | if funkcia=="sin(x)": | ||
| − | |||
while x<=b: | while x<=b: | ||
| − | |||
f.append(math.sin(x)) | f.append(math.sin(x)) | ||
| − | |||
x+=krok | x+=krok | ||
| − | |||
i+=1 | i+=1 | ||
| − | |||
elif funkcia=="cos(x)": | elif funkcia=="cos(x)": | ||
| − | |||
while x<=b: | while x<=b: | ||
| − | |||
f.append(math.cos(x)) | f.append(math.cos(x)) | ||
| − | |||
x+=krok | x+=krok | ||
| − | |||
i+=1 | i+=1 | ||
| − | |||
elif funkcia=="tan(x)": | elif funkcia=="tan(x)": | ||
| − | |||
while x<=b: | while x<=b: | ||
| − | |||
f.append(math.tan(x)) | f.append(math.tan(x)) | ||
| − | |||
x+=krok | x+=krok | ||
| − | |||
i+=1 | i+=1 | ||
| − | |||
elif funkcia=="x^2": | elif funkcia=="x^2": | ||
| − | |||
while x<=b: | while x<=b: | ||
| − | |||
f.append(math.pow(x,2)) | f.append(math.pow(x,2)) | ||
| − | |||
x+=krok | x+=krok | ||
| − | |||
i+=1 | i+=1 | ||
| − | |||
elif funkcia=="ln(x)": | elif funkcia=="ln(x)": | ||
| − | |||
while x<=b: | while x<=b: | ||
| − | |||
f.append(math.log(x)) | f.append(math.log(x)) | ||
| − | |||
x+=krok | x+=krok | ||
| − | |||
i+=1 | i+=1 | ||
| − | |||
elif funkcia=="exp(x)": | elif funkcia=="exp(x)": | ||
| − | |||
while x<=b: | while x<=b: | ||
| − | |||
f.append(math.exp(x)) | f.append(math.exp(x)) | ||
| − | |||
x+=krok | x+=krok | ||
| − | |||
i+=1 | i+=1 | ||
| − | |||
else: | else: | ||
| − | |||
print("fukcia bola zadaná nesprávne") | print("fukcia bola zadaná nesprávne") | ||
| − | |||
| − | |||
sum1=0 | sum1=0 | ||
| − | |||
sum2=0 | sum2=0 | ||
| − | |||
j=0 | j=0 | ||
| − | |||
| − | |||
while j<i: | while j<i: | ||
| − | |||
if (j/2)>(int(j/2)): | if (j/2)>(int(j/2)): | ||
| − | |||
sum1+=f[j] | sum1+=f[j] | ||
| − | |||
else: | else: | ||
| − | |||
sum2+=f[j] | sum2+=f[j] | ||
| − | |||
j+=1 | j+=1 | ||
| − | |||
| − | |||
I=((b-a)/(3*i))*(f[0]+4*sum1+2*sum2) | I=((b-a)/(3*i))*(f[0]+4*sum1+2*sum2) | ||
| − | |||
| − | |||
print ("Vypočítaný obsah je: "+str(I)) | print ("Vypočítaný obsah je: "+str(I)) | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
</source> | </source> | ||
Aktuálna revízia z 11:37, 18. marec 2013
Tento príklad patrí pod predmet Základy informatiky - jazyk Python, časť Matematika
Numerické integrovanie Simpsonovou metódou využíva aproximáciu pôvodnej funkcie pomocou paraboly. Hodnotu funkcie f(x) nahradíme pre všetky body x z podintervalu <x2k-1,x2k+1> parabolou prechádzajúcou bodmi f(x2k-1),f(x2k),f(x2k+1). f(x2k-1)=Ah2-Bh+C f(x2k)=C f(x2k+1)=Ah2+Bh+C kde A,B,C sú neznáme parametre funkcie.
Integrovaný interval <a,b> pod parabolou je rozdelený na 2r intervalov s veľkosťou [math]h=\frac{b-a}{2r}[/math]. Integrál je potom možné vypočítať podľa vzťahu:
[math] \int_a^b \! f(x) \, \mathrm{d}x [/math][math] = \frac{b-a}{6r}[/math][math]*{f(x_0)+4*[f(x_1)+f(x_3)+...f(x_2r-1)]+2[f(x_2)+f(x_4)+...f(x_2r-2)]+f(x_2r)}[/math]
# Numerické integrovanie Simpsonovou metódou
# Simpsonova metóda spočíva v nahradení integrovanej funkcie parabolou prechádzajúcou troma bodmi
# na začiatku použivateľ zadá funkciu (sin(x),cos(x),tan(x),x^2,ln(x),exp(x))
# potom zadá interval, na ktorom sa má funkcia zintegrovať
# a nakoniec zadá presnosť, resp. krok, s akým ju chce zintegrovať
import math
print("Funkcie, ktoré môžete zadať, sú: sin(x),cos(x),tan(x),x^2,ln(x),exp(x)")
funkcia = input("Zadajte funkciu, pod ktorou chcete vypočítať obsah: ")
a = input("Zadajte spodnú hranicu intervalu, v ktorom chcete integrovať: ")
b = input("Zadajte hornú hranicu intervalu, v ktorom chcete integrovať: ")
krok = input("Zadajte krok, s ktorým chcete integrovať: ")
f=[]
x=float(a)
krok=float(krok)
a=float(a)
b=float(b)
i=0
if funkcia=="sin(x)":
while x<=b:
f.append(math.sin(x))
x+=krok
i+=1
elif funkcia=="cos(x)":
while x<=b:
f.append(math.cos(x))
x+=krok
i+=1
elif funkcia=="tan(x)":
while x<=b:
f.append(math.tan(x))
x+=krok
i+=1
elif funkcia=="x^2":
while x<=b:
f.append(math.pow(x,2))
x+=krok
i+=1
elif funkcia=="ln(x)":
while x<=b:
f.append(math.log(x))
x+=krok
i+=1
elif funkcia=="exp(x)":
while x<=b:
f.append(math.exp(x))
x+=krok
i+=1
else:
print("fukcia bola zadaná nesprávne")
sum1=0
sum2=0
j=0
while j<i:
if (j/2)>(int(j/2)):
sum1+=f[j]
else:
sum2+=f[j]
j+=1
I=((b-a)/(3*i))*(f[0]+4*sum1+2*sum2)
print ("Vypočítaný obsah je: "+str(I))
