Doporučené príklady z numerickej matematiky: Rozdiel medzi revíziami

Z Kiwiki
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
(Vytvorená stránka „Späť na "Numerická matematika" ==Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc (metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi…“)
 
d
 
(Jedna medziľahlá úprava od rovnakého používateľa nie je zobrazená.)
Riadok 1: Riadok 1:
 
Späť na "[[Numerická matematika]]"
 
Späť na "[[Numerická matematika]]"
  
−
==Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc (metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi, iteračná metóda)==
+
==Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc==
−
Uvedenými metódami (pre každý príklad si vyberte jednu) nájdite s presnosťou <math>\varepsilon ={{10}^{-5}}</math> reálne korene rovníc, spĺňajúcich zadanú podmienku.
+
(metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi, iteračná metóda)
  
−
#<math>{{x}^{3}}-x-1=0,\text{  }x\in \left( 1,3;\text{1}\text{,4} \right)</math>
+
'''Uvedenými metódami (pre každý príklad si vyberte jednu) nájdite s presnosťou <math>\varepsilon ={{10}^{-5}}</math> reálne korene rovníc, spĺňajúcich zadanú podmienku.'''
−
#<math>{{x}^{3}}+x-1000=0,\text{ }\,</math> najväčší kladný koreň
+
 
−
#<math>{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+10x-10=0,\text{  }x\in \left( 1,5;\text{1}\text{,7} \right)</math>
+
'''1. '''<math>{{x}^{3}}-x-1=0,\text{  }x\in \left( 1,3;\text{1}\text{,4} \right)</math>
−
#<math>{{x}^{2}}-\cos x=0,\text{  }x>0\,</math>
+
 
−
#<math>x\tan x=1.28\,</math>, najmenší kladný koreň
+
'''2. '''<math>{{x}^{3}}+x-1000=0,\text{ }\,</math> najväčší kladný koreň
−
#<math>2x-\log x=7\,</math>, najmenší kladný koreň
+
 
 +
'''3. '''<math>{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+10x-10=0,\text{  }x\in \left( 1,5;\text{1}\text{,7} \right)</math>
 +
 
 +
'''4. '''<math>{{x}^{2}}-\cos x=0,\text{  }x>0\,</math>
 +
 
 +
'''5. '''<math>x\tan x=1.28\,</math>, najmenší kladný koreň
 +
 
 +
'''6. '''<math>2x-\log x=7\,</math>, najmenší kladný koreň
  
 
==Riešenie sústav lineárnych rovníc==  
 
==Riešenie sústav lineárnych rovníc==  
Riadok 15: Riadok 22:
  
  
−
1.
+
'''7. '''
  
 
<math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>
 
<math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>
Riadok 26: Riadok 33:
  
  
−
2.
+
'''8. '''
  
 
<math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>
 
<math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>
Riadok 37: Riadok 44:
  
  
−
3.
+
'''9. '''
  
 
<math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>
 
<math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>
−
 
  
 
<math>\begin{align}
 
<math>\begin{align}
Riadok 49: Riadok 55:
  
  
−
4.
+
'''10. '''
−
 
 
  
 
<math>\begin{align}
 
<math>\begin{align}
Riadok 60: Riadok 65:
  
  
−
Použitím niektorej iteračnej metódy riešte
+
'''Použitím niektorej iteračnej metódy riešte'''
−
 
 
−
5.
 
  
 +
'''11. '''
  
 
<math>\begin{align}
 
<math>\begin{align}
Riadok 73: Riadok 77:
  
  
−
6.
+
'''12. '''
−
 
 
  
 
<math>\begin{align}
 
<math>\begin{align}
Riadok 83: Riadok 86:
  
  
−
7.
+
'''13. '''
−
 
 
  
 
<math>\begin{align}
 
<math>\begin{align}
Riadok 93: Riadok 95:
  
  
−
8.
+
'''14. '''
−
 
 
  
 
<math>\begin{align}
 
<math>\begin{align}
Riadok 105: Riadok 106:
  
 
==Interpolačné polynómy==
 
==Interpolačné polynómy==
−
'''1.''' Zostrojte Lagrangeov interpolačný polynóm, prechádzajúci bodmi
+
'''Zostrojte Lagrangeov interpolačný polynóm, prechádzajúci bodmi'''
  
−
# (2, 0), (4, 3), (6, 5), (8, 4), (10, 1)
+
'''15. ''' (2, 0), (4, 3), (6, 5), (8, 4), (10, 1)
−
# (0, 3), (2, 1), (3, 5), (4, 7
 
−
# (1, -7), (3, 5), (4, 8), (6, 14)
 
−
# (2, 3), (4, 7), (5, 9), (10, 19)
 
  
−
'''2.''' Nájdite hodnotu funkcie zadanej tabuľkou
+
'''16. ''' (0, 3), (2, 1), (3, 5), (4, 7
 +
 
 +
'''17. ''' (1, -7), (3, 5), (4, 8), (6, 14)
 +
 
 +
'''18. ''' (2, 3), (4, 7), (5, 9), (10, 19)
 +
 
 +
 
 +
'''19. ''' Nájdite hodnotu funkcie zadanej tabuľkou
 
{| class=wikitable
 
{| class=wikitable
 
|-
 
|-
Riadok 123: Riadok 128:
 
v bode x = 3,1 pomocou Newtonovho interpolačného polynómu.
 
v bode x = 3,1 pomocou Newtonovho interpolačného polynómu.
  
−
'''3.''' Zostavte Newtonov interpolačný polynóm funkcie, ktorá je daná tabuľkou
+
'''20. ''' Zostavte Newtonov interpolačný polynóm funkcie, ktorá je daná tabuľkou
 
{|class=wikitable
 
{|class=wikitable
 
|-
 
|-
Riadok 133: Riadok 138:
 
|}
 
|}
  
−
'''4.''' Zostavte interpolačné polynómy pre funkciu <math>f\left( x \right)=\log x-\frac{x-1}{x}</math> ak sú dané uzly
+
 
−
# x = 1, 2, 4, 8, 10
+
Zostavte interpolačné polynómy pre funkciu <math>f\left( x \right)=\log x-\frac{x-1}{x}</math> ak sú dané uzly
−
# x = 2, 4, 8, 10
+
 
−
# x = 2, 4, 8
+
'''21. ''' x = 1, 2, 4, 8, 10
−
# x = 4, 8, 10
+
 
 +
'''22. ''' x = 2, 4, 8, 10
 +
 
 +
'''23. ''' x = 2, 4, 8
 +
 
 +
'''24. ''' x = 4, 8, 10
 +
 
 
vo všetkých prípadoch nájdite približnú hodnotu <math>\log 5.25\,</math>
 
vo všetkých prípadoch nájdite približnú hodnotu <math>\log 5.25\,</math>
  
−
'''5.''' Sú dané hodnoty funkcie <math>f\left( x \right):f\left( 0 \right)=1,\text{ }f\left( 1 \right)=1,\text{ }f\left( 2 \right)=0,\text{ }f\left( 3 \right)=2</math>. Zostrojte interpolačný splajn pre túto funkciu.
+
'''25. ''' Sú dané hodnoty funkcie <math>f\left( x \right):f\left( 0 \right)=1,\text{ }f\left( 1 \right)=1,\text{ }f\left( 2 \right)=0,\text{ }f\left( 3 \right)=2</math>. Zostrojte interpolačný splajn pre túto funkciu.
  
−
'''6.''' Funkcia je daná tabuľkou
+
'''26.''' Funkcia je daná tabuľkou
 
{|class=wikitable
 
{|class=wikitable
 
|-
 
|-
−
!xk
+
!x<sub>k</sub>
 
|0,51 ||0,52 ||0,53 ||0,54 ||0,55 ||0,56 ||0,57
 
|0,51 ||0,52 ||0,53 ||0,54 ||0,55 ||0,56 ||0,57
 
|-
 
|-
−
!yk
+
!y<sub>k</sub>
 
|1,6651 ||1,6820 ||1,6989 ||1,7160 ||1,7333 ||1,7507 ||1,7683
 
|1,6651 ||1,6820 ||1,6989 ||1,7160 ||1,7333 ||1,7507 ||1,7683
 
|}
 
|}
−
 
 
Pomocou splajnou vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x = 0,512, x = 0,535.
 
Pomocou splajnou vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x = 0,512, x = 0,535.
  
 
==Numerické derivovanie, numerická integrácia==
 
==Numerické derivovanie, numerická integrácia==
−
'''1.''' Nájdite hodnoty integrálu podľa lichobežníkového pravidla a preveďte odhad chyby
+
'''Nájdite hodnoty integrálu podľa lichobežníkového pravidla a preveďte odhad chyby'''
 +
 
 +
'''27. '''<math>I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}dx},\text{  }n=10</math>
 +
 
 +
'''28. '''<math>I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{1+x}dx},\text{  }n=4</math>
  
−
#<math>I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}dx},\text{  }n=10</math>
+
'''29. '''<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{  }n=10</math>
−
#<math>I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{1+x}dx},\text{  }n=4</math>
 
−
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{  }n=10</math>
 
−
#<math>I=\int\limits_{0}^{9}{\sqrt{6x-5}dx},\text{  }n=8</math>
 
−
#<math>I=\int\limits_{0,7}^{1,3}{\frac{1}{{{\left( 0,3+2{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}}dx},\text{  }n=17</math>
 
−
#<math>I=\int\limits_{4}^{5,2}{\ln xdx},\text{  }n=6</math>
 
  
 +
'''30. '''<math>I=\int\limits_{0}^{9}{\sqrt{6x-5}dx},\text{  }n=8</math>
  
−
'''2.''' Vypočítajte integrály použitím Simpsonovho pravidla a odhadnite chybu
+
'''31. '''<math>I=\int\limits_{0,7}^{1,3}{\frac{1}{{{\left( 0,3+2{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}}dx},\text{  }n=17</math>
  
−
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin x}{x}dx},\text{  }n=10</math>
+
'''32. '''<math>I=\int\limits_{4}^{5,2}{\ln xdx},\text{  }n=6</math>
−
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{1+x}dx},\text{  }n=10</math>
 
−
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{  }n=10</math>
 
−
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\sin {{x}^{2}}dx},\text{  }n=10</math>
 
−
#<math>I=\int\limits_{0}^{1,2}{\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)dx},\text{  }n=6</math>
 
  
  
−
'''3.''' Nájdite hodnoty integrálov použitím Gaussovho kvadratúrneho vzorca so zadaným počtom uzlov
+
'''Vypočítajte integrály použitím Simpsonovho pravidla a odhadnite chybu'''
  
−
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{  }n=6</math>
+
'''33. '''<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin x}{x}dx},\text{  }n=10</math>
−
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{  }n=5</math>
+
 
 +
'''34. '''<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{1+x}dx},\text{  }n=10</math>
 +
 
 +
'''35. '''<math>I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{  }n=10</math>
 +
 
 +
'''36. '''<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\sin {{x}^{2}}dx},\text{  }n=10</math>
 +
 
 +
'''37. '''<math>I=\int\limits_{0}^{1,2}{\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)dx},\text{  }n=6</math>
 +
 
 +
 
 +
'''Nájdite hodnoty integrálov použitím Gaussovho kvadratúrneho vzorca so zadaným počtom uzlov'''
 +
 
 +
'''38. '''<math>I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{  }n=6</math>
 +
 
 +
'''39. '''<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{  }n=5</math>
  
 
==Numerické metódy integrácie obyčajných diferenciálnych rovníc==
 
==Numerické metódy integrácie obyčajných diferenciálnych rovníc==
−
'''1.''' Eulerovou metódou riešte diferenciálne rovnice so zadanými počiatočnými podmienkami na intervalu  s krokom h a 0.5h
+
'''Eulerovou metódou riešte diferenciálne rovnice so zadanými počiatočnými podmienkami na intervalu  s krokom h a 0.5h'''
  
−
#<math>{y}'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\left( 6-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right),\text{ }y\left( 1 \right)=2,\text{ }a=1,\text{ }b=\frac{3}{2},\text{ }h=0,05</math>
+
'''40. '''<math>{y}'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\left( 6-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right),\text{ }y\left( 1 \right)=2,\text{ }a=1,\text{ }b=\frac{3}{2},\text{ }h=0,05</math>
−
#<math>{y}'=\frac{-xy}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}},\text{ }y\left( 0 \right)=e,\text{ }a=0,\text{ }b=\frac{1}{2},\text{ }h=0,05</math>
 
−
#<math>{y}'=-\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}y,\text{ }y\left( 0 \right)=0,\text{ }a=0,\text{ }b=1,\text{ }h=1</math>
 
  
 +
'''41. '''<math>{y}'=\frac{-xy}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}},\text{ }y\left( 0 \right)=e,\text{ }a=0,\text{ }b=\frac{1}{2},\text{ }h=0,05</math>
  
−
'''2.''' Riešte metódou Runge – Kutta na intervale  <math>\left\langle a,b \right\rangle </math> rovnice so zadanými podmienkami
+
'''42. '''<math>{y}'=-\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}y,\text{ }y\left( 0 \right)=0,\text{ }a=0,\text{ }b=1,\text{ }h=1</math>
  
−
#<math>{y}'=-xy{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{-1}},\text{ }y\left( 0 \right)=2,\text{ }a=0,\text{ }b=0,3,\text{ }h=0,05</math>
+
 
−
#<math>{y}'=y+\left( 1+x \right){{y}^{2}},\text{ }y\left( 0 \right)=1,\text{ }a=0,\text{ }b=0,5,\text{ }h=0,1</math>
+
'''Riešte metódou Runge – Kutta na intervale  <math>\left\langle a,b \right\rangle </math> rovnice so zadanými podmienkami'''
−
#<math>{y}'=\left( y+{{\left( {{y}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{0,5}} \right){{x}^{-1}},\text{ }y\left( 1 \right)=0,\text{ }a=1,\text{ }b=1,5,\text{ }h=0,1</math>
+
 
 +
'''43. '''<math>{y}'=-xy{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{-1}},\text{ }y\left( 0 \right)=2,\text{ }a=0,\text{ }b=0,3,\text{ }h=0,05</math>
 +
 
 +
'''44. '''<math>{y}'=y+\left( 1+x \right){{y}^{2}},\text{ }y\left( 0 \right)=1,\text{ }a=0,\text{ }b=0,5,\text{ }h=0,1</math>
 +
 
 +
'''45. '''<math>{y}'=\left( y+{{\left( {{y}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{0,5}} \right){{x}^{-1}},\text{ }y\left( 1 \right)=0,\text{ }a=1,\text{ }b=1,5,\text{ }h=0,1</math>
  
 
==Aproximácie reálnych funkcií, metóda najmenších štvorcov==
 
==Aproximácie reálnych funkcií, metóda najmenších štvorcov==
−
'''1.''' Metódou najmenších štvorcov aproximujte lineárnou funkciou tabuľkové údaje
+
'''Metódou najmenších štvorcov aproximujte lineárnou funkciou tabuľkové údaje'''
  
−
a)
+
'''46. '''
 
{|class=wikitable
 
{|class=wikitable
 
|-
 
|-
Riadok 207: Riadok 231:
  
  
−
b)
+
'''47. '''
 
{| class=wikitable
 
{| class=wikitable
 
|-
 
|-
Riadok 217: Riadok 241:
 
|}
 
|}
  
−
'''2.''' Metódou najmenších štvorcov aproximujte kvadratickou funkciou tabuľkové údaje
 
  
−
a.)
+
'''Metódou najmenších štvorcov aproximujte kvadratickou funkciou tabuľkové údaje'''
 +
 
 +
'''48. '''
 
{|class=wikitable
 
{|class=wikitable
 
|-
 
|-
Riadok 230: Riadok 255:
  
  
−
b.)
+
'''49. '''
 
{|class=wikitable
 
{|class=wikitable
 
|-
 
|-

Aktuálna revízia z 22:01, 15. december 2010

Späť na "Numerická matematika"

Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc

(metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi, iteračná metóda)

Uvedenými metódami (pre každý príklad si vyberte jednu) nájdite s presnosťou [math]\varepsilon ={{10}^{-5}}[/math] reálne korene rovníc, spĺňajúcich zadanú podmienku.

1. [math]{{x}^{3}}-x-1=0,\text{ }x\in \left( 1,3;\text{1}\text{,4} \right)[/math]

2. [math]{{x}^{3}}+x-1000=0,\text{ }\,[/math] najväčší kladný koreň

3. [math]{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+10x-10=0,\text{ }x\in \left( 1,5;\text{1}\text{,7} \right)[/math]

4. [math]{{x}^{2}}-\cos x=0,\text{ }x\gt 0\,[/math]

5. [math]x\tan x=1.28\,[/math], najmenší kladný koreň

6. [math]2x-\log x=7\,[/math], najmenší kladný koreň

Riešenie sústav lineárnych rovníc

Gausovou eleminačnou metódou riešte sústavy lineárnych rovníc s danou presnosťou (zadané [math]\varepsilon[/math])


7.

[math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 0,14{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,84{{x}_{3}}=1,11 \\ & 1,07{{x}_{1}}-0,83{{x}_{2}}+0,56{{x}_{3}}=0,48 \\ & 0,64{{x}_{1}}+0,43{{x}_{2}}-0,38{{x}_{3}}=-0,83 \\ \end{align}[/math]


8.

[math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 2,74{{x}_{1}}-1,18{{x}_{2}}+3,17{{x}_{3}}=2,18 \\ & 1,12{{x}_{1}}+0,83{{x}_{2}}-2,16{{x}_{3}}=-1,15 \\ & 0,81{{x}_{1}}+1,27{{x}_{2}}+0,76{{x}_{3}}=3,23 \\ \end{align}[/math]


9.

[math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 6{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=11,33 \\ & -{{x}_{1}}+6{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=32 \\ & -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-6{{x}_{3}}=42 \\ \end{align}[/math]


10.

[math]\begin{align} & 7,9{{x}_{1}}+5,6{{x}_{2}}+5,7{{x}_{3}}-7,2{{x}_{4}}=6,68 \\ & 8,5{{x}_{1}}-4,8{{x}_{2}}+0,8{{x}_{3}}+3,5{{x}_{4}}=0 \\ & 4,3{{x}_{1}}+4,2{{x}_{2}}-3,2{{x}_{3}}+9,3{{x}_{4}}=8,6 \\ & 3,2{{x}_{1}}-1,4{{x}_{2}}-8,9{{x}_{3}}+3,3{{x}_{4}}=1 \\ \end{align}[/math]


Použitím niektorej iteračnej metódy riešte

11.

[math]\begin{align} & {{x}_{1}}=0,39+0,24{{x}_{2}}-0,48{{x}_{3}}+0,23{{x}_{4}} \\ & {{x}_{2}}=0,72-0,05{{x}_{1}}+0,44{{x}_{3}}+0,31{{x}_{4}} \\ & {{x}_{3}}=0,56-0,10{{x}_{1}}+0,03{{x}_{2}}-0,55{{x}_{4}} \\ & {{x}_{4}}=0,47+0,12{{x}_{1}}-0,07{{x}_{2}}+0,11{{x}_{3}} \\ \end{align}[/math]


12.

[math]\begin{align} & \text{ }4{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,08{{x}_{3}}=8 \\ & 0,09{{x}_{1}}\text{ }+3{{x}_{2}}-0,15{{x}_{3}}=9 \\ & 0,04{{x}_{1}}-0,08{{x}_{2}}\text{ }+4{{x}_{3}}=20 \end{align}[/math]


13.

[math]\begin{align} & 2{{x}_{1}}\text{ }-{{x}_{2}}\text{ }+{{x}_{3}}=-3 \\ & 3{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}\text{ }-2{{x}_{3}}=1 \\ & {{x}_{1}}-4{{x}_{2}}+10{{x}_{3}}=0 \end{align}[/math]


14.

[math]\begin{align} & 20,9{{x}_{1}}+1,2{{x}_{2}}+2,1{{x}_{3}}+0,9{{x}_{4}}=21,7 \\ & 1,2{{x}_{1}}+21,2{{x}_{2}}+1,5{{x}_{3}}+2,5{{x}_{4}}=27,46 \\ & 2,1{{x}_{1}}+1,5{{x}_{2}}+19,8{{x}_{3}}+1,3{{x}_{4}}=28,76 \\ & 0,9{{x}_{1}}+2,5{{x}_{2}}+1,3{{x}_{3}}+32,1{{x}_{4}}=49,72 \end{align}[/math]


Interpolačné polynómy

Zostrojte Lagrangeov interpolačný polynóm, prechádzajúci bodmi

15. (2, 0), (4, 3), (6, 5), (8, 4), (10, 1)

16. (0, 3), (2, 1), (3, 5), (4, 7

17. (1, -7), (3, 5), (4, 8), (6, 14)

18. (2, 3), (4, 7), (5, 9), (10, 19)


19. Nájdite hodnotu funkcie zadanej tabuľkou

x 1 2 3 4 5 6 7
y 3 7 13 21 31 43 57

v bode x = 3,1 pomocou Newtonovho interpolačného polynómu.

20. Zostavte Newtonov interpolačný polynóm funkcie, ktorá je daná tabuľkou

x 0 1 2 3 4
y 1 4 15 40 85


Zostavte interpolačné polynómy pre funkciu [math]f\left( x \right)=\log x-\frac{x-1}{x}[/math] ak sú dané uzly

21. x = 1, 2, 4, 8, 10

22. x = 2, 4, 8, 10

23. x = 2, 4, 8

24. x = 4, 8, 10

vo všetkých prípadoch nájdite približnú hodnotu [math]\log 5.25\,[/math]

25. Sú dané hodnoty funkcie [math]f\left( x \right):f\left( 0 \right)=1,\text{ }f\left( 1 \right)=1,\text{ }f\left( 2 \right)=0,\text{ }f\left( 3 \right)=2[/math]. Zostrojte interpolačný splajn pre túto funkciu.

26. Funkcia je daná tabuľkou

xk 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57
yk 1,6651 1,6820 1,6989 1,7160 1,7333 1,7507 1,7683

Pomocou splajnou vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x = 0,512, x = 0,535.

Numerické derivovanie, numerická integrácia

Nájdite hodnoty integrálu podľa lichobežníkového pravidla a preveďte odhad chyby

27. [math]I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}dx},\text{ }n=10[/math]

28. [math]I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{1+x}dx},\text{ }n=4[/math]

29. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=10[/math]

30. [math]I=\int\limits_{0}^{9}{\sqrt{6x-5}dx},\text{ }n=8[/math]

31. [math]I=\int\limits_{0,7}^{1,3}{\frac{1}{{{\left( 0,3+2{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}}dx},\text{ }n=17[/math]

32. [math]I=\int\limits_{4}^{5,2}{\ln xdx},\text{ }n=6[/math]


Vypočítajte integrály použitím Simpsonovho pravidla a odhadnite chybu

33. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin x}{x}dx},\text{ }n=10[/math]

34. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{1+x}dx},\text{ }n=10[/math]

35. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=10[/math]

36. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\sin {{x}^{2}}dx},\text{ }n=10[/math]

37. [math]I=\int\limits_{0}^{1,2}{\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)dx},\text{ }n=6[/math]


Nájdite hodnoty integrálov použitím Gaussovho kvadratúrneho vzorca so zadaným počtom uzlov

38. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=6[/math]

39. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=5[/math]

Numerické metódy integrácie obyčajných diferenciálnych rovníc

Eulerovou metódou riešte diferenciálne rovnice so zadanými počiatočnými podmienkami na intervalu s krokom h a 0.5h

40. [math]{y}'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\left( 6-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right),\text{ }y\left( 1 \right)=2,\text{ }a=1,\text{ }b=\frac{3}{2},\text{ }h=0,05[/math]

41. [math]{y}'=\frac{-xy}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}},\text{ }y\left( 0 \right)=e,\text{ }a=0,\text{ }b=\frac{1}{2},\text{ }h=0,05[/math]

42. [math]{y}'=-\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}y,\text{ }y\left( 0 \right)=0,\text{ }a=0,\text{ }b=1,\text{ }h=1[/math]


Riešte metódou Runge – Kutta na intervale [math]\left\langle a,b \right\rangle [/math] rovnice so zadanými podmienkami

43. [math]{y}'=-xy{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{-1}},\text{ }y\left( 0 \right)=2,\text{ }a=0,\text{ }b=0,3,\text{ }h=0,05[/math]

44. [math]{y}'=y+\left( 1+x \right){{y}^{2}},\text{ }y\left( 0 \right)=1,\text{ }a=0,\text{ }b=0,5,\text{ }h=0,1[/math]

45. [math]{y}'=\left( y+{{\left( {{y}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{0,5}} \right){{x}^{-1}},\text{ }y\left( 1 \right)=0,\text{ }a=1,\text{ }b=1,5,\text{ }h=0,1[/math]

Aproximácie reálnych funkcií, metóda najmenších štvorcov

Metódou najmenších štvorcov aproximujte lineárnou funkciou tabuľkové údaje

46.

x 1 2 3 4 5 6
y 2 4,9 7,9 11,1 14,1 17


47.

x 1 4 9 16 25
y 0,1 3 8,1 14,9 23,9


Metódou najmenších štvorcov aproximujte kvadratickou funkciou tabuľkové údaje

48.

x 7 8 9 10 11 12 13
y 3,1 4,9 5,3 5,8 6,1 6,4 5,9


49.

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -0,71 -0,01 0,51 0,82 0,88 0,81 0,49
Zdroj: „http://www.kiwiki.info/index.php?title=Doporučené_príklady_z_numerickej_matematiky&oldid=8577“