Kmity sústavy s dvoma stupňami volnosti: Rozdiel medzi revíziami

Z Kiwiki
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
 
(7 medziľahlých úprav od jedného ďalšieho používateľa nie je zobrazených)
Riadok 1: Riadok 1:
 +
{{sablona_python_priklady|Fyzika}}
 
__NOTOC__
 
__NOTOC__
 
[[Category:Python]]
 
[[Category:Python]]
 
Na obrázku je zobrazená sústava dvoch telies a  dvoch pružín. Prvá pružina je pevne ukotvená, hmotnosti telies sú ''m<sub>1</sub>'' a ''m<sub>2</sub>'', ich výchylky z rovnovážnej polohy sú ''x<sub>1</sub>'' a ''x<sub>2</sub>''. V zobrazenej pozícii je sústava v rovnováhe, pružiny sú natiahnuté pôsobením vlastnej hmotnosti telies, do pohybových rovníc preto nebudeme zahŕňať tiažové sily ''m<sub>1</sub>g'' a ''m<sub>2</sub>g''.
 
Na obrázku je zobrazená sústava dvoch telies a  dvoch pružín. Prvá pružina je pevne ukotvená, hmotnosti telies sú ''m<sub>1</sub>'' a ''m<sub>2</sub>'', ich výchylky z rovnovážnej polohy sú ''x<sub>1</sub>'' a ''x<sub>2</sub>''. V zobrazenej pozícii je sústava v rovnováhe, pružiny sú natiahnuté pôsobením vlastnej hmotnosti telies, do pohybových rovníc preto nebudeme zahŕňať tiažové sily ''m<sub>1</sub>g'' a ''m<sub>2</sub>g''.
  
−
[[Súbor:kmity-sustava.png | thumb|center| <div align="center"> Sústava </div>]]
+
[[Súbor:kmity-sustava.png | thumb|center| <div align="center"> Sústava dvoch telies </div>]]
  
−
Pri vychýlení z rovnovážnej polohy pôsobia na telesá sily úmerné ich výchylkám z rovnovážnych polôh a konštantám pružín ''k<sub>1</sub>'' a ''k<sub>2</sub>''. Pre obe telesá môžeme potom napísať pohybové rovnice
+
Pri vychýlení z rovnovážnej polohy pôsobia na telesá sily úmerné ich výchylkám z rovnovážnych polôh a konštantám pružín ''k<sub>1</sub>'' a ''k<sub>2</sub>''. Straty energie pri pohybe telies v tomto jednoduchom prípade nebudeme uvažovať. Pre obe telesá môžeme potom napísať pohybové rovnice
  
 
:<math>  
 
:<math>  
Riadok 28: Riadok 29:
  
  
−
Dosadením do pohybových rovníc dostaneme
+
Hľadanou veličinou je frekvencia kmitov telies. Dosadením do pohybových rovníc dostaneme
  
 
:<math>  
 
:<math>  
Riadok 57: Riadok 58:
 
\omega^4 - \left[ \frac{k_1+k_2} {m_1} + \frac{k_2}{m_2} \right] \omega^2 + \frac{k_1}{m_1} \frac{k_2}{m_2}=0
 
\omega^4 - \left[ \frac{k_1+k_2} {m_1} + \frac{k_2}{m_2} \right] \omega^2 + \frac{k_1}{m_1} \frac{k_2}{m_2}=0
 
</math>
 
</math>
 +
 +
Túto rovnicu nazývame charakteristickou rovnicou systému. Vo všeobecnosti má dva korene <math>\omega_1^2</math> a <math>\omega_2^2</math>, vlastnými frekvenciami systému potom sú kladné hodnoty <math>\omega_1\,</math> a <math>\omega_2\,</math>.
 +
 +
=== Výpočet sústavy ===
 +
 +
V interaktívnom móde Pythonu (konzola) importujeme balík ''pylab''<ref>http://www.scipy.org/PyLab</ref> pre vedecké výpočty. Ak použijeme interaktívny shell ''iPython''<ref>http://ipython.github.com/ipython-doc/</ref> <ref>http://ipython.scipy.org/moin/</ref>, balík ''pylab'' môžeme automaticky importovať pri spustení shellu
 +
 +
<source lang="python">
 +
ipython -pylab
 +
</source>
 +
 +
Definujeme hmotnosti telies a konštanty pružín
 +
<source lang="python">
 +
>>> m1=1.0; m2=0.5
 +
>>> k1=500; k2=250
 +
</source>
 +
 +
Zostavíme koeficienty charkteristickej rovnice sústavy a nájdeme jej korene
 +
<source lang="python">
 +
>>> c=[1, -(k1+k2)/m1-k2/m2, k1*k2/(m1*m2)]
 +
>>> z=roots(c)
 +
</source>
 +
 +
Vypočítame vlastné frekvencie systému
 +
<source lang="python">
 +
>>> f=sqrt(z)/(2*pi)
 +
</source>
 +
 +
Vlastné frekvencie systému majú hodnoty f[0]=5.03 Hz a f[1]=2.51 Hz. Pre analyzovaný systém môžeme zobraziť jeho fázovú trajektóriu [x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>]
 +
<source lang="python">
 +
>>> t=arange(0.0, 5.0, 0.01)
 +
>>> x1=sin(t*f[0])
 +
>>> x2=sin(t*f[1])
 +
>>> plot(x1,x2)
 +
</source>
 +
 +
[[Súbor:kmity-char.png | thumb|center| 400px | <div align="center"> Fázová trajektória sústavy </div>]]
 +
 +
=== Literatúra a odkazy ===
 +
<references/>

Aktuálna revízia z 11:34, 18. marec 2013

Tento príklad patrí pod predmet Základy informatiky - jazyk Python, časť Fyzika

Na obrázku je zobrazená sústava dvoch telies a dvoch pružín. Prvá pružina je pevne ukotvená, hmotnosti telies sú m1 a m2, ich výchylky z rovnovážnej polohy sú x1 a x2. V zobrazenej pozícii je sústava v rovnováhe, pružiny sú natiahnuté pôsobením vlastnej hmotnosti telies, do pohybových rovníc preto nebudeme zahŕňať tiažové sily m1g a m2g.

Sústava dvoch telies

Pri vychýlení z rovnovážnej polohy pôsobia na telesá sily úmerné ich výchylkám z rovnovážnych polôh a konštantám pružín k1 a k2. Straty energie pri pohybe telies v tomto jednoduchom prípade nebudeme uvažovať. Pre obe telesá môžeme potom napísať pohybové rovnice

[math] m_1 \ddot{x_1}=-k_1 x_1 + k_2(x_2-x_1) [/math]
[math] m_2 \ddot{x_2}=-k_2(x_2-x_1) [/math]

Analýza sústavy

Pri analýze sústavy predpokladáme, že pohyb telies bude harmonický s rovnakou frekvenciou a môžeme ho preto popísať vzťahmi

[math] x_1 =A_1 sin(\omega t)\, [/math]
[math] x_2 =A_2 sin(\omega t)\, [/math]


Hľadanou veličinou je frekvencia kmitov telies. Dosadením do pohybových rovníc dostaneme

[math] -m_1 A_1\, \omega^2 + (k_1 + k_2)A_1 - k_2 A_2 = 0\, [/math]
[math] -m_2 A_2\, \omega^2 - k_2 A_1 + k_2 A_2 = 0\, [/math]


Úpravou dostaneme maticový zápis sústavy pohybových rovníc

[math] \left[ \begin{array}{cc} {[(k_1+k_2)-m_1 \omega^2]} & -k_2 \\ -k_2 & {[k_2-m_2 \omega^2]} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} A_1 \\ A_2 \end{array} \right] = 0 [/math]


Homogénna sústava rovníc má netriviálne riešenie len vtedy, ak determinant sústavy je rovný nule, z toho vyplýva

[math] \omega^4 - \left[ \frac{k_1+k_2} {m_1} + \frac{k_2}{m_2} \right] \omega^2 + \frac{k_1}{m_1} \frac{k_2}{m_2}=0 [/math]

Túto rovnicu nazývame charakteristickou rovnicou systému. Vo všeobecnosti má dva korene [math]\omega_1^2[/math] a [math]\omega_2^2[/math], vlastnými frekvenciami systému potom sú kladné hodnoty [math]\omega_1\,[/math] a [math]\omega_2\,[/math].

Výpočet sústavy

V interaktívnom móde Pythonu (konzola) importujeme balík pylab[1] pre vedecké výpočty. Ak použijeme interaktívny shell iPython[2] [3], balík pylab môžeme automaticky importovať pri spustení shellu 

ipython -pylab

Definujeme hmotnosti telies a konštanty pružín 

>>> m1=1.0; m2=0.5
>>> k1=500; k2=250

Zostavíme koeficienty charkteristickej rovnice sústavy a nájdeme jej korene 

>>> c=[1, -(k1+k2)/m1-k2/m2, k1*k2/(m1*m2)]
>>> z=roots(c)

Vypočítame vlastné frekvencie systému 

>>> f=sqrt(z)/(2*pi)

Vlastné frekvencie systému majú hodnoty f[0]=5.03 Hz a f[1]=2.51 Hz. Pre analyzovaný systém môžeme zobraziť jeho fázovú trajektóriu [x1, x2] 

>>> t=arange(0.0, 5.0, 0.01)
>>> x1=sin(t*f[0])
>>> x2=sin(t*f[1])
>>> plot(x1,x2)
Fázová trajektória sústavy

Literatúra a odkazy

  1. ↑ http://www.scipy.org/PyLab
  2. ↑ http://ipython.github.com/ipython-doc/
  3. ↑ http://ipython.scipy.org/moin/
Zdroj: „http://www.kiwiki.info/index.php?title=Kmity_sústavy_s_dvoma_stupňami_volnosti&oldid=11383“