Semestrálne práce z numerickej matematiky

Z Kiwiki
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Späť na "Numerická matematika"


Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc

(metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi, iteračná metóda)


Uvedenými metódami (pre každý príklad si vyberte jednu) nájdite s presnosťou [math]\varepsilon ={{10}^{-5}}[/math] reálne korene rovníc, spĺňajúcich zadanú podmienku.

1. [math]{{x}^{3}}-x-1=0,\text{ }x\in \left( 1,3;\text{1}\text{,4} \right)[/math]

2. [math]{{x}^{3}}+x-1000=0,\text{ }\,[/math], najväčší kladný koreň

3. [math]{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+10x-10=0,\text{ }x\in \left( 1,5;\text{1}\text{,7} \right)[/math]

4. [math]{{x}^{2}}-\cos x=0,\text{ }x\gt 0\,[/math]

5. [math]x\tan x=1,28\,[/math], najmenší kladný koreň

6. [math]2x-\log x=7\,[/math], najmenší kladný koreň

7. [math]{{e}^{x}}\sin x-1=0\,[/math], najmenší kladný koreň

8. [math]10{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}+70x+11=0\,[/math], záporný koreň

9. [math]{{e}^{x}}-\sin x-1=0\,[/math], menši reálny koreň

10. [math]\ln x-{{e}^{x}}+9=0\,[/math], menši koreň

11. [math]5x\ln x-1=0\,[/math], reálny koreň

12. [math]{{x}^{2}}+\cos x-4x+3=0\,[/math], menší koreň

Riešenie sústav lineárnych rovníc

Gausovou eleminačnou metódou riešte sústavy lineárnych rovníc s danou presnosťou (zadané [math]\varepsilon[/math] )

13. [math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 0,14{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,84{{x}_{3}}=1,11 \\ & 1,07{{x}_{1}}-0,83{{x}_{2}}+0,56{{x}_{3}}=0,48 \\ & 0,64{{x}_{1}}+0,43{{x}_{2}}-0,38{{x}_{3}}=-0,83 \\ \end{align}[/math]


14. [math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 2,74{{x}_{1}}-1,18{{x}_{2}}+3,17{{x}_{3}}=2,18 \\ & 1,12{{x}_{1}}+0,83{{x}_{2}}-2,16{{x}_{3}}=-1,15 \\ & 0,81{{x}_{1}}+1,27{{x}_{2}}+0,76{{x}_{3}}=3,23 \\ \end{align}[/math]


15. [math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 6{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=11,33 \\ & -{{x}_{1}}+6{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=32 \\ & -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-6{{x}_{3}}=42 \\ \end{align}[/math]

16. [math]\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}[/math]

[math]\begin{align} & 7,9{{x}_{1}}+5,6{{x}_{2}}+5,7{{x}_{3}}-7,2{{x}_{4}}=6,68 \\ & 8,5{{x}_{1}}-4,8{{x}_{2}}+0,8{{x}_{3}}+3,5{{x}_{4}}=0 \\ & 4,3{{x}_{1}}+4,2{{x}_{2}}-3,2{{x}_{3}}+9,3{{x}_{4}}=8,6 \\ & 3,2{{x}_{1}}-1,4{{x}_{2}}-8,9{{x}_{3}}+3,3{{x}_{4}}=1 \\ \end{align}[/math]


Použitím niektorej iteračnej metódy riešte (Jacobiho, Gauss – Seidlova)

17.

[math]\begin{align} & {{x}_{1}}=0,39+0,24{{x}_{2}}-0,48{{x}_{3}}+0,23{{x}_{4}} \\ & {{x}_{2}}=0,72-0,05{{x}_{1}}+0,44{{x}_{3}}+0,31{{x}_{4}} \\ & {{x}_{3}}=0,56-0,10{{x}_{1}}+0,03{{x}_{2}}-0,55{{x}_{4}} \\ & {{x}_{4}}=0,47+0,12{{x}_{1}}-0,07{{x}_{2}}+0,11{{x}_{3}} \\ \end{align}[/math]


18.

[math]\begin{align} & \text{ }4{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,08{{x}_{3}}=8 \\ & 0,09{{x}_{1}}\text{ }+3{{x}_{2}}-0,15{{x}_{3}}=9 \\ & 0,04{{x}_{1}}-0,08{{x}_{2}}\text{ }+4{{x}_{3}}=20 \end{align}[/math]


19.

[math]\begin{align} & 2{{x}_{1}}\text{ }-{{x}_{2}}\text{ }+{{x}_{3}}=-3 \\ & 3{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}\text{ }-2{{x}_{3}}=1 \\ & {{x}_{1}}-4{{x}_{2}}+10{{x}_{3}}=0 \end{align}[/math]


20.

[math]\begin{align} & 20,9{{x}_{1}}+1,2{{x}_{2}}+2,1{{x}_{3}}+0,9{{x}_{4}}=21,7 \\ & 1,2{{x}_{1}}+21,2{{x}_{2}}+1,5{{x}_{3}}+2,5{{x}_{4}}=27,46 \\ & 2,1{{x}_{1}}+1,5{{x}_{2}}+19,8{{x}_{3}}+1,3{{x}_{4}}=28,76 \\ & 0,9{{x}_{1}}+2,5{{x}_{2}}+1,3{{x}_{3}}+32,1{{x}_{4}}=49,72 \end{align}[/math]


Interpolačné polynómy

Zostrojte Lagrangeov interpolačný polynóm, prechádzajúci bodmi

21. (2, 0), (4, 3), (6, 5), (8, 4), (10, 1)

22. (0, 3), (2, 1), (3, 5), (4, 7)

23. (1, -7), (3, 5), (4, 8), (6, 14)

24. (2, 3), (4, 7), (5, 9), (10, 19)


25. Nájdite hodnotu funkcie zadanej tabuľkou

x 1 2 3 4 5 6 7
y 3 7 13 21 31 43 57

v bode x = 3,1 pomocou Newtonovho interpolačného polynómu.


26. Zostavte Newtonov interpolačný polynóm funkcie, ktorá je daná tabuľkou

x 0 1 2 3 4
y 1 4 15 40 85


Zostavte interpolačné polynómy pre funkciu [math]f\left( x \right)=\log x-\frac{x-1}{x}[/math], ak sú dané uzly

27. x = 1, 2, 4, 8, 10

28. x = 2, 4, 8, 10

29. x = 2, 4, 8

30. x = 4, 8, 10

vo všetkých prípadoch nájdite približnú hodnotu [math]\log 5.25[/math]

Metódou najmenších štvorcov vypočítajte lineárnu a hyperbolickú závislosť

31.

xi 1 2 3 4 6
yi 5 4 3 1 1


32.

xi 1 2 3 4 5
yi 2,1 3,5 5 6,7 8


33.

xi -3 -1 0 2 4
yi 19 3 1 9 33


34.

xi -2 -1 0 1 3
yi -15 -4 -1 0 11

Numerické derivovanie, numerická integrácia

Nájdite hodnoty integrálu podľa lichobežníkového pravidla a preveďte odhad chyby

35. [math]I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}dx},\text{ }n=10[/math]

36. [math]I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{1+x}dx},\text{ }n=4[/math]

37. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=10[/math]

38. [math]I=\int\limits_{0}^{9}{\sqrt{6x-5}dx},\text{ }n=8[/math]

39. [math]I=\int\limits_{0,7}^{1,3}{\frac{1}{{{\left( 0,3+2{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}}dx},\text{ }n=17[/math]

40. [math]I=\int\limits_{4}^{5,2}{\ln xdx},\text{ }n=6[/math]

Vypočítajte integrály použitím Simpsonovho pravidla a odhadnite chybu

41. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin x}{x}dx},\text{ }n=10[/math]

42. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{1+x}dx},\text{ }n=10[/math]

43. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=10[/math]

44. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\sin {{x}^{2}}dx},\text{ }n=10[/math]

45. [math]I=\int\limits_{0}^{1,2}{\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)dx},\text{ }n=6[/math]


46.

47.

48.

49.

Nájdite hodnoty integrálov použitím metódy 3/8 so zadaným počtom uzlov

50. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=6[/math]

51. [math]I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=5[/math]

Numerické metódy integrácie obyčajných diferenciálnych rovníc

Eulerovou metódou, metódou Runge Kutta 2. rádu a analyticky riešte diferenciálne rovnice so zadanými počiatočnými podmienkami na intervalu [math]\left\langle a,b \right\rangle [/math] s krokom h a 0,5h. Riešenia porovnajte.

52. [math]{y}'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\left( 6-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right),\text{ }y\left( 1 \right)=2,\text{ }a=1,\text{ }b=\frac{3}{2},\text{ }h=0,05[/math]

53. [math]{y}'=\frac{-xy}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}},\text{ }y\left( 0 \right)=e,\text{ }a=0,\text{ }b=\frac{1}{2},\text{ }h=0,05[/math]

54. [math]{y}'=-\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}y,\text{ }y\left( 0 \right)=0,\text{ }a=0,\text{ }b=1,\text{ }h=1[/math]


Riešte metódou Runge – Kutta 4. rádu na intervale [math]\left\langle a,b \right\rangle [/math] rovnice so zadanými podmienkami. Riešenie porovnajte s analytickým riešením.

55. [math]{y}'=-xy{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{-1}},\text{ }y\left( 0 \right)=2,\text{ }a=0,\text{ }b=0,3,\text{ }h=0,05[/math]

56. [math]{y}'=y+\left( 1+x \right){{y}^{2}},\text{ }y\left( 0 \right)=1,\text{ }a=0,\text{ }b=0,5,\text{ }h=0,1[/math]

57. [math]{y}'=\left( y+{{\left( {{y}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{0,5}} \right){{x}^{-1}},\text{ }y\left( 1 \right)=0,\text{ }a=1,\text{ }b=1,5,\text{ }h=0,1[/math]

Aproximácie reálnych funkcií, metóda najmenších štvorcov

Metódou najmenších štvorcov aproximujte lineárnou funkciou tabuľkové údaje

58.

x 1 2 3 4 5 6
y 2 4,9 7,9 11,1 14,1 17

59.

x 1 4 9 16 25
y 0,1 3 8,1 14,9 23,9


Metódou najmenších štvorcov aproximujte kvadratickou funkciou tabuľkové údaje

60.

x 7 8 9 10 11 12 13
y 3,1 4,9 5,3 5,8 6,1 6,4 5,9


61.

x -3 -2 -1 0 1 2 3
y -0,71 -0,01 0,51 0,82 0,88 0,81 0,49
Zdroj: „http://www.kiwiki.info/index.php?title=Semestrálne_práce_z_numerickej_matematiky&oldid=10984“