Kmity sústavy s dvoma stupňami volnosti

Na obrázku je zobrazená sústava dvoch telies a dvoch pružín. Prvá pružina je pevne ukotvená, hmotnosti telies sú m₁ a m₂, ich výchylky z rovnovážnej polohy sú x₁ a x₂. V zobrazenej pozícii je sústava v rovnováhe, pružiny sú natiahnuté pôsobením vlastnej hmotnosti telies, do pohybových rovníc preto nebudeme zahŕňať tiažové sily m₁g a m₂g.

Sústava

Pri vychýlení z rovnovážnej polohy pôsobia na telesá sily úmerné ich výchylkám z rovnovážnych polôh a konštantám pružín k₁ a k₂. Pre obe telesá môžeme potom napísať pohybové rovnice

[math] m_1 \ddot{x_1}=-k_1 x_1 + k_2(x_2-x_1) [/math]

[math] m_2 \ddot{x_2}=-k_2(x_2-x_1) [/math]

Analýza sústavy

Pri analýze sústavy predpokladáme, že pohyb telies bude harmonický s rovnakou frekvenciou a môžeme ho preto popísať vzťahmi

[math] x_1 =A_1 sin(\omega t)\, [/math]

[math] x_2 =A_2 sin(\omega t)\, [/math]

dosadením do pohybových rovníc dostaneme

[math] -m_1 A_1 \omega^2 + (k_1 + k_2)A_1 - k_2 A_2 = 0\, [/math]

[math] -m_2 A_2 \omega^2 - k_2 A_1 + k_2 A_2 = 0\, [/math]