Metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc
| 1. | Sústavy lineárnych rovníc a matice |
| 2. | Klasické metódy riešenia sústav lineárnych rovníc |
| 3. | Metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc
|
Obsah
Riešenie trojuholníkových systémov
LU rozklad blokových matíc
Riešenie blokových trojdiagonálnych systémov
QR rozklad
Gram - Schmidtov algoritmus
Choleského rozklad
Záver
Cieľom mojej práce bolo oboznámiť sa s riešením sústav veľkých lineárnych rovníc a opísať a porovnať niektoré z existujúcich algoritmov. V práci som sa zameral na opis niektorých existujúcich algoritmov pre riešenie všeobecných sústav lineárnych rovníc.
Opísal som niektoré klasické algoritmy pre riešenie sústav lineárnych rovníc. Cramerovo pravidlo a riešenie pomocou inverznej matice sú vhodné len pre veľmi malé matice sústavy. Gaussova eliminačná metóda taktiež pre veľké matice nie je príliš vhodná, pretože je potrebné veľké množstvo operácií pre riešenie veľkých sústav. Takisto pri eliminácii môžu vzniknúť chyby. Preto sa častejšie používajú jej modifikácie. Klasické iteračné metódy: Jacobiho a Gauss – Seidelova sú vhodné pre väčšie matice a riedke matice. Keďže množstvo nulových prvkov v riedkych maticiach znižuje počet potrebných operácií a výpočtovú náročnosť , sú tieto metódy vhodné aj pre veľké riedke sústavy lineárnych rovníc.
Ďalej som sa zameral na algoritmy rozkladov veľkých všeobecných matíc. Tieto metódy sú vhodné pre riešenie plných. Sú tu opísané tri algoritmy rozkladu pre zjednodušenie veľkých matíc: LU rozklad, QR – rozklad a Choleského rozklad. Je viacero metód, ako možno rozložiť maticu do podoby niektorého z rozkladov. V tejto práci sú opísané len niektoré základné algoritmy, ako možno tieto rozklady uskutočniť. Po aplikácii týchto algoritmov rozložíme pôvodnú veľkú maticu na súčin dvoch matíc. Pri LU rozklade dostávame súčin dolnej a hornej trojuholníkovej matice, pri QR rozklade je to súčin ortogonálnej a hornej trojuholníkovej matice. Pri Choleského rozklade rozložíme maticu na dolnú trojuholníkovú maticu a jej transponovanú maticu. Choleského rozklad je efektívnejší ako tradičný LU rozklad, ale možno ho aplikovať len na symetrické kladne definitné systémy. Pri niektorých typoch sústav je výhodnejšie použiť QR rozklad, napr. pre zle podmienené systémy. Tieto rozklady vedú k riešeniu systémov trojuholníkových matíc, ktorých spôsoby riešenia sú v práci tiež opísané.
Použitá literatúra
- Parallel Algorithms for Matrix Computations. Philadelphia : Society for Industrial and Applied Mathematics, 1990. 195 s. ISBN 0898712602
- TIMOTHY A. Davis: Direct Methods for Sparse Linear Systems : Fundamentals of Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematic, 2006. 217 s. ISBN 0898716136.
- GOLUB G. H. , Van Loan Ch. F., Matrix computations, The John Hopkins University Press, 1996. 694 s. ISBN 0801854148
- FAJMON, Bretislav , RUŽICKOVÁ, Irena. Matematika 3. Brno : Vysoké Učení Technické v Brne, 2005. 252 s. Dostupný z WWW: <http://www.umat.feec.vutbr.cz/~fajmon/inm/matematika3.pdf>.
- Skriptá, Bratislava: STU, Dostupný z WWW:<http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/index.html>.
- DOBÁK, Radoslav. Využitie blokových matíc pri riešení úloh lineárnej algebry . 2009. 51 s. Bratislava. Dostupný z WWW: <http://www.iam.fmph.uniba.sk/studium/efm/diplomovky/2009/dobak/diplomovka.pdf>.
- Numerické metódy matematiky I. Dostupný z WWW: <http://fyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska4.pdf>
- Brezová Martina. Choleského metóda. 2006. Bratislava. Dostupný z WWW:< http://www.mtakac.com/aap/ref/brezova.pdf>
