Vzorkovací teorém - História úprav

Juraj na 19:47, 4. apríl 2013

2013-04-04T19:47:33Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

2010-06-10T21:57:24Z

Vzorkovacia teoréma

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu */

2010-06-10T21:56:57Z

Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

2010-06-10T21:53:28Z

Vzorkovacia teoréma

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu */

2010-06-10T21:50:54Z

Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

2010-06-10T21:39:22Z

Vzorkovacia teoréma

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu */

2010-06-10T21:37:35Z

Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu

Juraj na 13:34, 6. jún 2010

2010-06-06T13:34:05Z

Stewo: /* Zdroj literatúry */

2010-06-04T21:41:58Z

Zdroj literatúry

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

2010-06-04T21:38:06Z

Vzorkovacia teoréma

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
 [[Category:Prevodníky]]
 __NOTOC__
-{{Draft}}
+{{sablona_prevodníky}}
 =Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=
 [[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|650px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 21:57, 10. jún 2010
Riadok 104:		Riadok 104:

	::<ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>		::<ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>
		+
		+
		+	<references/>

	=Zdroj literatúry=		=Zdroj literatúry=

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 21:56, 10. jún 2010
Riadok 11:		Riadok 11:

	:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δ<sub>T</sub>(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δ<sub>T</sub>(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω<sub>0</sub>=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu. <ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>		:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δ<sub>T</sub>(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δ<sub>T</sub>(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω<sub>0</sub>=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu. <ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>
		+
		+
		+	<references/>

	=Vzorkovacia teoréma=		=Vzorkovacia teoréma=

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 21:53, 10. jún 2010
Riadok 99:		Riadok 99:

	{{Vzorec\|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>\|7-4}}		{{Vzorec\|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>\|7-4}}
		+
		+	::<ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>

	=Zdroj literatúry=		=Zdroj literatúry=

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 21:50, 10. jún 2010
Riadok 10:		Riadok 10:


−	:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δ<sub>T</sub>(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δ<sub>T</sub>(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω<sub>0</sub>=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.	+	:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δ<sub>T</sub>(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δ<sub>T</sub>(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω<sub>0</sub>=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu. <ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>

	=Vzorkovacia teoréma=		=Vzorkovacia teoréma=

@@ Riadok 72: / Riadok 72: @@
 {{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}
-[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]
+[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|600px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]
@@ Riadok 93: / Riadok 93: @@
 :Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.
-[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]
+[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|650px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 21:37, 10. jún 2010
Riadok 7:		Riadok 7:


−	[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png\|center\|thumb\|~~800px~~\|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]	+	[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png\|center\|thumb\|650px\|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

@@ Riadok 16: / Riadok 16: @@
 :Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)
 {{Vzorec|:::<math>X(\omega) =
@@ Riadok 26: / Riadok 25: @@
 :je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch
 {{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}
@@ Riadok 46: / Riadok 44: @@
 :Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ω<sub>m</sub>''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ω<sub>m</sub>'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δ<sub>T</sub>(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''x<sub>v</sub>(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):
 {{Vzorec|:::<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}
 :Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δ<sub>T</sub>(t)''''' je '''''ω<sub>v</sub>δω<sub>v</sub>(ω)''''', kde '''''ω<sub>v</sub>=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:
 {{Vzorec|:::<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,
@@ Riadok 61: / Riadok 57: @@
 :Po úprave ('''''4'''''):
 {{Vzorec|:::<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}
-:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]
+:kde
 {{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}
@@ Riadok 70: / Riadok 66: @@
 :Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''X<sub>v</sub>(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ω<sub>v</sub>''''', ktorá musí spĺňať podmienku:
 {{Vzorec|:::<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}
 :z čoho vyplýva:
 {{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}
@@ Riadok 83: / Riadok 77: @@
 :Spektrum '''''X<sub>v</sub>(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''x<sub>v</sub>(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):
 {{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}
@@ Riadok 90: / Riadok 83: @@
 :Frekvencia
 {{Vzorec|:::<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}
@@ Riadok 97: / Riadok 89: @@
 :'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom
 {{Vzorec|:::<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}
@@ Riadok 107: / Riadok 98: @@
 :Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''f<sub>v</sub>=1/T''''' vzťahom:
 {{Vzorec|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 21:41, 4. jún 2010
Riadok 117:		Riadok 117:


−	~~Ďalšie materiály~~:	+	Ďalšia literatúra:

	[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc		[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

@@ Riadok 18: / Riadok 18: @@
 [[Súbor:1.png|center|Podmienka]]
-{{Vzorec|<math>X(\omega) =
+{{Vzorec|:::<math>X(\omega) =
 \begin{cases}
 definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
@@ Riadok 27: / Riadok 27: @@
 [[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]
-{{Vzorec|<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}
+{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}
 :kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.
@@ Riadok 47: / Riadok 47: @@
 [[Súbor:3.png|center|3]]
-{{Vzorec|<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}
+{{Vzorec|:::<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}
 :Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δ<sub>T</sub>(t)''''' je '''''ω<sub>v</sub>δω<sub>v</sub>(ω)''''', kde '''''ω<sub>v</sub>=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:
 [[Súbor:4.png|center|4]]
-{{Vzorec|<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,
+{{Vzorec|:::<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,
-<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,
+:::<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,
-<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}
+:::<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}
@@ Riadok 62: / Riadok 62: @@
 [[Súbor:5.png|center|5]]
-{{Vzorec|<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}
+{{Vzorec|:::<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}
 :kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]
-{{Vzorec|<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}
+{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}
@@ Riadok 71: / Riadok 71: @@
 [[Súbor:6.png|center|6]]
-{{Vzorec|<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}
+{{Vzorec|:::<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}
 :z čoho vyplýva:
 [[Súbor:6-2.png|center|6-2]]
-{{Vzorec|<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}
+{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}
 [[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]
@@ Riadok 84: / Riadok 84: @@
 [[Súbor:7.png|center|7]]
-{{Vzorec|<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}
+{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}
 :Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2f<sub>m</sub>''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty   vzorkovaného signálu '''''x<sub>v</sub>(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''X<sub>v</sub>(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.
@@ Riadok 91: / Riadok 91: @@
 [[Súbor:7-2.png|center|7-2]]
-{{Vzorec|<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}
+{{Vzorec|:::<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}
 :sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.
@@ Riadok 98: / Riadok 98: @@
 [[Súbor:7-3.png|center|7-3]]
-{{Vzorec|<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}
+{{Vzorec|:::<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}
 :Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.
@@ Riadok 108: / Riadok 108: @@
 [[Súbor:7-4.png|center|7-4]]
-{{Vzorec|<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}
+{{Vzorec|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}
 =Zdroj literatúry=