Výpočet elektrického poľa metódou konečných diferencií - História úprav

Juraj na 09:35, 18. marec 2013

2013-03-18T09:35:59Z

Juro.zigo na 11:30, 15. jún 2011

2011-06-15T11:30:07Z

Juro.zigo na 10:23, 15. jún 2011

2011-06-15T10:23:47Z

Zobraziť rozdiely

Juro.zigo na 10:18, 15. jún 2011

2011-06-15T10:18:09Z

Juro.zigo na 10:10, 15. jún 2011

2011-06-15T10:10:21Z

Juro.zigo na 09:56, 15. jún 2011

2011-06-15T09:56:46Z

Juro.zigo na 09:37, 15. jún 2011

2011-06-15T09:37:53Z

Juro.zigo: Vytvorená stránka „Tento program som napísal ako projekt ku predmetu Pokročilé programovanie na FMFI UK. Úloha ktorú som si stanovil, bola použitie metódy konečných diferencii na vyp…“

2011-06-15T08:37:17Z

Vytvorená stránka „Tento program som napísal ako projekt ku predmetu Pokročilé programovanie na FMFI UK. Úloha ktorú som si stanovil, bola použitie metódy konečných diferencii na vyp…“

Nová stránka

Tento program som napísal ako projekt ku predmetu Pokročilé programovanie na FMFI UK. Úloha ktorú som si stanovil, bola použitie metódy konečných diferencii na vypočítanie priebehu elektrického poľa.

Metóda konečných diferencii je jednoduchá numerická metóda, ktorá spočíva v diskretizovaní zadanej úlohy a jej riešení v jednotlivých strategicky zvolených bodoch. V našom prípade diskretizujeme riešenie dvojrozmernej Poissonovej rovnice na výpočet elektrického poľa.

Tá má tvar: <math>\frac{\partial^{2} U}{\partial x^2} + \frac{\partial^{2} U}{\partial y^{2}} = - \frac{Q}{\kappa} </math>

Zvolíme si vhodné rozloženie bodov na diskretizáciu. Vhodným rozložením na riešenie „hranatej“ úlohy, je pravouhlá mriežka.

[[Image:vyber_bodov1.jpg|center|thumb|300px|Výber bodov]]

Aproximácia problému touto metódou spočíva v nahradení derivácii v jednotlivých bodoch siete diferenciáciou. Potom je hľadaná veličina v bode vypočítaná z hodnôt veličiny v okolitých bodoch. Hodnota potenciálu v bode i, j sa vyjadrí podľa hodnôt v bodoch x+h a x-h (analogicky tiež y+k, y-k) , ktoré sa rozvinú do Taylorovho radu. Úpravami týchto rozvojov dostaneme vyjadrenie druhej derivácie potenciálu v bode i,j v závislosti od hodnôt potenciálu vedľajších bodov v x-ovom alebo y-ovom smere a od hodnoty v bode i,j.

Dostaneme: <math>U''_{i,j}=\frac{U_{i+1,j}-2U_{i,j}+U_{i-1,j}}{h^{2}}</math> a <math>U''_{i,j}=\frac{U_{i,j+1}-2U_{i,j}+U_{i,j-1}}{k^{2}}</math>

Tieto rovnice sú aproximáciou druhých parciálnych derivácii potenciálov podľa x a y. Boli však vyjadrené zanedbaním členov Taylorovho rozvoja s mocninou 3 a viac. Chyba aproximácie bude teda rádu h<sup>2</sup> resp. k<sup>2</sup>.

Dostali sme teda: <math>\frac{\partial^{2}U}{\partial x^2} = \frac{U_{i+1,j}-2U_{i,j}+U_{i-1,j}}{h^{2}}</math> a <math>\frac{\partial^{2}U}{\partial y^2} = \frac{U_{i,j+1}-2U_{i,j}+U_{i,j-1}}{k^{2}}</math>

Po doplnení do základnej rovnice: <math>\frac{1}{h^{2}}({U_{i+1,j}-2U_{i,j}+U_{i-1,j}}) + \frac{1}{k^{2}}({U_{i,j+1}-2U_{i,j}+U_{i,j-1}}) + Q = 0</math>

Samotná úloha pozostáva zo zistenia priebehu potenciálu vnútri prierezu štvorcového koaxiálneho vodiča. Vnútorný vodič môže mať potenciál rovný 0. Potenciál na vonkajšom plášti môžeme pre jednoduchosť nahradiť 100% čiže 1.

V závislosti od požadovanej presnosti výpočtu rozdelíme vnútro jedného kvadrantu vodiča (úloha je symetrická) na indexované body. Indexy priradíme iba bodom ktoré majú neznámy potenciál.

[[Image:vyber_bodov2.jpg|center|thumb|300px|Výber bodov]]

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 09:35, 18. marec 2013
Riadok 1:		Riadok 1:
		+	{{sablona_python_priklady\|Fyzika}}
	Tento program som napísal ako projekt ku predmetu Pokročilé programovanie na FMFI UK. Úloha ktorú som si stanovil, bola použitie metódy konečných diferencii na vypočítanie priebehu elektrického poľa.		Tento program som napísal ako projekt ku predmetu Pokročilé programovanie na FMFI UK. Úloha ktorú som si stanovil, bola použitie metódy konečných diferencii na vypočítanie priebehu elektrického poľa.

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 11:30, 15. jún 2011
Riadok 219:		Riadok 219:


−	[[Image:ekvipotencialne_ciary.jpg\|center\|thumb\|600px\|~~Výber bodov~~]]	+	[[Image:ekvipotencialne_ciary.jpg\|center\|thumb\|600px\|Ekviptenciálne čiary vykreslené ako "scatter"]]

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 10:18, 15. jún 2011
Riadok 220:		Riadok 220:

	[[Image:ekvipotencialne_ciary.jpg\|center\|thumb\|600px\|Výber bodov]]		[[Image:ekvipotencialne_ciary.jpg\|center\|thumb\|600px\|Výber bodov]]
		+
		+
		+	Pri práci som čerpal z práce: [http://www.maiki.ic.cz/2sem4roc/numries/num_ries_BRNO.pdf Numerické riešenia]

@@ Riadok 30: / Riadok 30: @@
 Samotná úloha pozostáva zo zistenia priebehu potenciálu vnútri prierezu štvorcového koaxiálneho vodiča. Vnútorný vodič môže mať potenciál rovný 0. Potenciál na vonkajšom plášti môžeme pre jednoduchosť nahradiť 100% čiže 1.
-V závislosti od požadovanej presnosti výpočtu rozdelíme vnútro jedného kvadrantu vodiča (úloha je symetrická) na indexované body. Indexy priradíme iba bodom ktoré majú neznámy potenciál.
+V závislosti od požadovanej presnosti výpočtu rozdelíme vnútro jedného kvadrantu vodiča (úloha je symetrická) na indexované body. Indexy priradíme iba bodom ktoré majú neznámy potenciál. V programe je to vlastne jediný vstup ktorý sa zadáva pri spustení.
@@ Riadok 214: / Riadok 214: @@
              verts=None,)
      show()    </source>

@@ Riadok 36: / Riadok 36: @@
-Tento krok vykonáva:
+Indexy priraďuje:
 <source lang="python">
@@ Riadok 43: / Riadok 43: @@
          return (i - 1)*(n - 1) + j - 1
      return (i - 1)*(n - 1) + j</source>
@@ Riadok 135: / Riadok 152: @@
      for i in xrange(unknown):
          mama[i][i] = -4</source>

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 09:37, 15. jún 2011
Riadok 32:		Riadok 32:
	V závislosti od požadovanej presnosti výpočtu rozdelíme vnútro jedného kvadrantu vodiča (úloha je symetrická) na indexované body. Indexy priradíme iba bodom ktoré majú neznámy potenciál.		V závislosti od požadovanej presnosti výpočtu rozdelíme vnútro jedného kvadrantu vodiča (úloha je symetrická) na indexované body. Indexy priradíme iba bodom ktoré majú neznámy potenciál.

−	[[Image:vyber_bodov2.jpg\|center\|thumb\|~~300px~~\|Výber bodov]]	+
		+	[[Image:vyber_bodov2.jpg\|center\|thumb\|600px\|Výber bodov v jednom kvadrante]]
		+
		+
		+	Tento krok vykonáva:
		+
		+	<source lang="python">
		+	def get_index(i, j, m, n):
		+	if i == m - 1:
		+	return (i - 1)*(n - 1) + j - 1
		+	return (i - 1)*(n - 1) + j</source>
		+
		+
		+	Aplikovaním poslednej rovnice na tieto body dostaneme sústavu troch rovníc.
		+
		+
		+	<math>(0-2U_{1}+1)+(U_{2}-2U_{1}+U_{2})=0</math>
		+
		+	<math>(U_{3}-2U_{2}+1)+(U_{1}-2U_{2}+1)=0</math>
		+
		+	<math>(U_{2}-2U_{3}+U_{2})+(0-2U_{3}+1)=0</math>
		+
		+
		+	Vhodným zvolením rozmerov oblasti sme eliminovali h a k.
		+	Ak požadujeme väčšiu presnosť, budeme musieť oblasť rozdeliť na viac bodov a následne budeme riešiť viac rovníc.
		+
		+	Túto sústavu napíšeme v maticovom tvare:
		+
		+
		+	<math>
		+	\begin{pmatrix}
		+	-4 & 2 & 0 \\
		+	1 & -4 & 1 \\
		+	0 & 2 & -4 \\
		+	\end{pmatrix}
		+	\begin{pmatrix}
		+	U_1 \\
		+	U_2 \\
		+	U_3 \\
		+	\end{pmatrix} =
		+
		+	\begin{pmatrix}
		+	-1 \\
		+	-2 \\
		+	-1 \\
		+	\end{pmatrix}</math>
		+
		+
		+	Po vyriešení tejto sústavy lineárnych rovníc dostaneme hodnoty potenciálov v troch bodoch U<sub>1</sub>, U<sub>2</sub> a U<sub>3</sub>.
		+
		+	Všetky tieto kroky sa v programe vykonávajú už akoby "v matici". Podľa polohy riešeného bodu v mriežke rozdeľujúcej kvadrant koaxiálneho vodiča sa do matice dosádzajú čísla. Týchto čísel je iba obmedzený počet. Sú to: 0, 1, 2, -4 a 0, 1, 2 vo výsledkovej časti.
		+
		+	<source lang="python">
		+	mama = []
		+	for i in xrange(m):
		+	for j in xrange(n):
		+	if matrix[i][j] == "x":
		+	row = []
		+	for _ in xrange(unknown + 1):
		+	row.append(0)
		+	#lavy kraj
		+	if j == 0:
		+	row[get_index(i, j + 1, m, n)] = 2
		+	if i - 1 == 0:
		+	row[-1] = -1
		+	else:
		+	row[get_index(i - 1, j, m, n)] = 1
		+	if not i == m - 2:
		+	row[get_index(i + 1, j, m, n)] = 1
		+	#pravy kraj
		+	elif j == n - 2:
		+	if not (i == m - 1 and j == 1):
		+	row[get_index(i, j - 1, m, n)] = 1
		+	row[-1] = -1
		+	if i == 1:
		+	row[-1] = -2
		+	else:
		+	if i == m - 1:
		+	row[get_index(i - 1, j, m, n)] = 2
		+	else:
		+	row[get_index(i - 1, j, m, n)] = 1
		+	if not i == m - 1:
		+	row[get_index(i + 1, j, m, n)] = 1
		+	#hore
		+	elif i == 1:
		+	row[get_index(i + 1, j, m, n)] = 1
		+	row[get_index(i, j - 1, m, n)] = 1
		+	row[get_index(i, j + 1, m, n)] = 1
		+	row[-1] = -1
		+	#dole
		+	elif i == m - 1:
		+	if j != 1:
		+	row[get_index(i, j - 1, m, n)] = 1
		+	row[get_index(i - 1, j, m, n)] = 2
		+	row[get_index(i, j+1, m, n)] = 1
		+	else:
		+	row[get_index(i, j+1, m, n)] = 1
		+	row[get_index(i, j-1, m, n)] = 1
		+	row[get_index(i + 1, j, m, n)] = 1
		+	row[get_index(i - 1, j, m, n)] = 1
		+	mama.append(row)
		+	for i in xrange(unknown):
		+	mama[i][i] = -4</source>