Juraj na 07:52, 7. október 2011

2011-10-07T07:52:49Z

Juraj na 09:18, 16. december 2010

2010-12-16T09:18:46Z

Juraj: Vytvorená stránka „Späť na "Numerická matematika"
Riešte úlohy s poradovými číslami, kt…“

2010-12-16T08:44:28Z

Vytvorená stránka „Späť na "Numerická matematika" <div style="border:3px solid red;padding:10px;border-radius:15px;-moz-border-radius:15px"> Riešte úlohy s poradovými číslami, kt…“

Nová stránka

Späť na "[[Numerická matematika]]"

<div style="border:3px solid red;padding:10px;border-radius:15px;-moz-border-radius:15px">
Riešte úlohy s poradovými číslami, ktoré Vám boli pridelené podľa zoznamu. Semestrálnu prácu vypracujte '''samostatne a v písomnej forme''' a odovzdajte pred skúškou. Študent ktorý neodovzdá semestrálnu prácu nebude ku skúške pripustený.
</div>

==Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc==
(metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi, iteračná metóda)

'''Uvedenými metódami (pre každý príklad si vyberte jednu) nájdite s presnosťou <math>\varepsilon ={{10}^{-5}}</math> reálne korene rovníc, spĺňajúcich zadanú podmienku.'''

'''1. ''' <math>{{x}^{3}}-x-1=0,\text{ }x\in \left( 1,3;\text{1}\text{,4} \right)</math>

'''2. ''' <math>{{x}^{3}}+x-1000=0,\text{ }\,</math>, najväčší kladný koreň

'''3. ''' <math>{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+10x-10=0,\text{ }x\in \left( 1,5;\text{1}\text{,7} \right)</math>

'''4. ''' <math>{{x}^{2}}-\cos x=0,\text{ }x>0\,</math>

'''5. ''' <math>x\tan x=1,28\,</math>, najmenší kladný koreň

'''6. ''' <math>2x-\log x=7\,</math>, najmenší kladný koreň

'''7. ''' <math>{{e}^{x}}\sin x-1=0\,</math>, najmenší kladný koreň

'''8. '''<math>10{{x}^{3}}+30{{x}^{2}}+70x+11=0\,</math>, záporný koreň

'''9. ''' <math>{{e}^{x}}-\sin x-1=0\,</math>, menši reálny koreň

'''10. ''' <math>\ln x-{{e}^{x}}+9=0\,</math>, menši koreň

'''11. '''<math>5x\ln x-1=0\,</math>, reálny koreň

'''12. '''<math>{{x}^{2}}+\cos x-4x+3=0\,</math>, menší koreň

==Riešenie sústav lineárnych rovníc==
Gausovou eleminačnou metódou riešte sústavy lineárnych rovníc s danou presnosťou (zadané <math>\varepsilon</math> )

'''13. ''' <math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>

<math>\begin{align}
& 0,14{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,84{{x}_{3}}=1,11 \\
& 1,07{{x}_{1}}-0,83{{x}_{2}}+0,56{{x}_{3}}=0,48 \\
& 0,64{{x}_{1}}+0,43{{x}_{2}}-0,38{{x}_{3}}=-0,83 \\
\end{align}</math>

'''14. ''' <math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>

<math>\begin{align}
& 2,74{{x}_{1}}-1,18{{x}_{2}}+3,17{{x}_{3}}=2,18 \\
& 1,12{{x}_{1}}+0,83{{x}_{2}}-2,16{{x}_{3}}=-1,15 \\
& 0,81{{x}_{1}}+1,27{{x}_{2}}+0,76{{x}_{3}}=3,23 \\
\end{align}</math>

'''15. ''' <math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>

<math>\begin{align}
& 6{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=11,33 \\
& -{{x}_{1}}+6{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=32 \\
& -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-6{{x}_{3}}=42 \\
\end{align}</math>

'''16. ''' <math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>

<math>\begin{align}
& 7,9{{x}_{1}}+5,6{{x}_{2}}+5,7{{x}_{3}}-7,2{{x}_{4}}=6,68 \\
& 8,5{{x}_{1}}-4,8{{x}_{2}}+0,8{{x}_{3}}+3,5{{x}_{4}}=0 \\
& 4,3{{x}_{1}}+4,2{{x}_{2}}-3,2{{x}_{3}}+9,3{{x}_{4}}=8,6 \\
& 3,2{{x}_{1}}-1,4{{x}_{2}}-8,9{{x}_{3}}+3,3{{x}_{4}}=1 \\
\end{align}</math>

'''Použitím niektorej iteračnej metódy riešte (Jacobiho, Gauss – Seidlova)'''

'''17. '''

<math>\begin{align}
& {{x}_{1}}=0,39+0,24{{x}_{2}}-0,48{{x}_{3}}+0,23{{x}_{4}} \\
& {{x}_{2}}=0,72-0,05{{x}_{1}}+0,44{{x}_{3}}+0,31{{x}_{4}} \\
& {{x}_{3}}=0,56-0,10{{x}_{1}}+0,03{{x}_{2}}-0,55{{x}_{4}} \\
& {{x}_{4}}=0,47+0,12{{x}_{1}}-0,07{{x}_{2}}+0,11{{x}_{3}} \\
\end{align}</math>

'''18. '''

<math>\begin{align}
& \text{ }4{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,08{{x}_{3}}=8 \\
& 0,09{{x}_{1}}\text{ }+3{{x}_{2}}-0,15{{x}_{3}}=9 \\
& 0,04{{x}_{1}}-0,08{{x}_{2}}\text{ }+4{{x}_{3}}=20
\end{align}</math>

'''19. '''

<math>\begin{align}
& 2{{x}_{1}}\text{ }-{{x}_{2}}\text{ }+{{x}_{3}}=-3 \\
& 3{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}\text{ }-2{{x}_{3}}=1 \\
& {{x}_{1}}-4{{x}_{2}}+10{{x}_{3}}=0
\end{align}</math>

'''20. '''

<math>\begin{align}
& 20,9{{x}_{1}}+1,2{{x}_{2}}+2,1{{x}_{3}}+0,9{{x}_{4}}=21,7 \\
& 1,2{{x}_{1}}+21,2{{x}_{2}}+1,5{{x}_{3}}+2,5{{x}_{4}}=27,46 \\
& 2,1{{x}_{1}}+1,5{{x}_{2}}+19,8{{x}_{3}}+1,3{{x}_{4}}=28,76 \\
& 0,9{{x}_{1}}+2,5{{x}_{2}}+1,3{{x}_{3}}+32,1{{x}_{4}}=49,72
\end{align}</math>

==Interpolačné polynómy==

'''Zostrojte Lagrangeov interpolačný polynóm, prechádzajúci bodmi'''

'''21. ''' (2, 0), (4, 3), (6, 5), (8, 4), (10, 1)

'''22. ''' (0, 3), (2, 1), (3, 5), (4, 7)

'''23. ''' (1, -7), (3, 5), (4, 8), (6, 14)

'''24. ''' (2, 3), (4, 7), (5, 9), (10, 19)

'''25. ''' Nájdite hodnotu funkcie zadanej tabuľkou
{| class=wikitable
|-
!x
| 1|| 2 ||3 ||4 ||5 ||6 ||7
|-
!y
| 3 ||7 ||13 ||21 ||31 ||43 ||57
|}
v bode x = 3,1 pomocou Newtonovho interpolačného polynómu.

'''26. ''' Zostavte Newtonov interpolačný polynóm funkcie, ktorá je daná tabuľkou
{| class=wikitable
|-
!x
|0|| 1 ||2 ||3 ||4
|-
!y
|1 ||4 ||15 ||40 ||85
|}

'''Zostavte interpolačné polynómy pre funkciu <math>f\left( x \right)=\log x-\frac{x-1}{x}</math>, ak sú dané uzly'''

'''27. ''' x = 1, 2, 4, 8, 10

'''28. ''' x = 2, 4, 8, 10

'''29. ''' x = 2, 4, 8

'''30. ''' x = 4, 8, 10

vo všetkých prípadoch nájdite približnú hodnotu <math>\log 5.25</math>
----
'''Metódou najmenších štvorcov vypočítajte lineárnu a hyperbolickú závislosť'''

'''31. '''
{| class=wikitable
|-
!xi
| 1 ||2 ||3 ||4 ||6
|-
!yi
| 5 ||4 ||3 ||1 ||1
|}

'''32. '''
{| class=wikitable
|-
!xi
|1 ||2 ||3 ||4 ||5
|-
!yi
|2,1 ||3,5 ||5 ||6,7 ||8
|}

'''33. '''
{| class=wikitable
|-
!xi
| -3 || -1 ||0 ||2 ||4
|-
!yi
|19 ||3 ||1 ||9 ||33
|}

'''34. '''
{| class=wikitable
|-
!xi
| -2 ||-1 ||0 ||1 ||3
|-
!yi
| -15 || -4 || -1 ||0 ||11
|}

==Numerické derivovanie, numerická integrácia==

Nájdite hodnoty integrálu podľa lichobežníkového pravidla a preveďte odhad chyby

'''35. ''' <math>I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}dx},\text{ }n=10</math>

'''36. ''' <math>I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{1+x}dx},\text{ }n=4</math>

'''37. ''' <math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=10</math>

'''38. ''' <math>I=\int\limits_{0}^{9}{\sqrt{6x-5}dx},\text{ }n=8</math>

'''39. ''' <math>I=\int\limits_{0,7}^{1,3}{\frac{1}{{{\left( 0,3+2{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}}dx},\text{ }n=17</math>

'''40. ''' <math>I=\int\limits_{4}^{5,2}{\ln xdx},\text{ }n=6</math>

'''Vypočítajte integrály použitím Simpsonovho pravidla a odhadnite chybu'''

'''41. ''' <math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin x}{x}dx},\text{ }n=10</math>

'''42. ''' <math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{1+x}dx},\text{ }n=10</math>

'''43. ''' <math>I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=10</math>

'''44. ''' <math>I=\int\limits_{0}^{1}{\sin {{x}^{2}}dx},\text{ }n=10</math>

'''45. ''' <math>I=\int\limits_{0}^{1,2}{\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)dx},\text{ }n=6</math>

'''46. '''

'''47. '''

'''48. '''

'''49. '''

'''Nájdite hodnoty integrálov použitím metódy 3/8 so zadaným počtom uzlov'''

'''50. ''' <math>I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=6</math>

'''51. ''' <math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=5</math>

== Numerické metódy integrácie obyčajných diferenciálnych rovníc==
Eulerovou metódou, metódou Runge Kutta 2. rádu a analyticky riešte diferenciálne rovnice so zadanými počiatočnými podmienkami na intervalu <math>\left\langle a,b \right\rangle </math> s krokom h a 0,5h. Riešenia porovnajte.

'''52. ''' <math>{y}'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\left( 6-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right),\text{ }y\left( 1 \right)=2,\text{ }a=1,\text{ }b=\frac{3}{2},\text{ }h=0,05</math>

'''53. ''' <math>{y}'=\frac{-xy}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}},\text{ }y\left( 0 \right)=e,\text{ }a=0,\text{ }b=\frac{1}{2},\text{ }h=0,05</math>

'''54. ''' <math>{y}'=-\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}y,\text{ }y\left( 0 \right)=0,\text{ }a=0,\text{ }b=1,\text{ }h=1</math>

Riešte metódou Runge – Kutta 4. rádu na intervale <math>\left\langle a,b \right\rangle </math> rovnice so zadanými podmienkami. Riešenie porovnajte s analytickým riešením.

'''55. ''' <math>{y}'=-xy{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{-1}},\text{ }y\left( 0 \right)=2,\text{ }a=0,\text{ }b=0,3,\text{ }h=0,05</math>

'''56. ''' <math>{y}'=y+\left( 1+x \right){{y}^{2}},\text{ }y\left( 0 \right)=1,\text{ }a=0,\text{ }b=0,5,\text{ }h=0,1</math>

'''57. ''' <math>{y}'=\left( y+{{\left( {{y}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{0,5}} \right){{x}^{-1}},\text{ }y\left( 1 \right)=0,\text{ }a=1,\text{ }b=1,5,\text{ }h=0,1</math>

==Aproximácie reálnych funkcií, metóda najmenších štvorcov==
Metódou najmenších štvorcov aproximujte lineárnou funkciou tabuľkové údaje

'''58. '''
{| class=wikitable
|-
!x
|1 ||2 ||3 ||4 ||5 ||6
|-
!y
|2 ||4,9 ||7,9 ||11,1 ||14,1 ||17
|}

'''59. '''
{| class=wikitable
|-
!x
|1 ||4 ||9 ||16 ||25
|-
!y
|0,1 ||3 ||8,1 ||14,9 ||23,9
|}

Metódou najmenších štvorcov aproximujte kvadratickou funkciou tabuľkové údaje

'''60. '''
{| class=wikitable
|-
!x
|7 ||8 ||9 ||10 ||11 ||12 ||13
|-
!y
|3,1 ||4,9 ||5,3 ||5,8 ||6,1 ||6,4 ||5,9
|}

'''61. '''
{| class=wikitable
|-
!x
| -3 || -2 || -1 ||0 ||1 ||2 ||3
|-
!y
| -0,71 || -0,01 ||0,51 ||0,82 ||0,88 ||0,81 ||0,49
|}

@@ Riadok 1: / Riadok 1: @@
 Späť na "[[Numerická matematika]]"
 __NOTOC__
 ==Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc==

Semestrálne práce z numerickej matematiky - História úprav

Juraj na 07:52, 7. október 2011

Juraj na 09:18, 16. december 2010

Juraj: Vytvorená stránka „Späť na "Numerická matematika" Riešte úlohy s poradovými číslami, kt…“

Juraj: Vytvorená stránka „Späť na "Numerická matematika"
Riešte úlohy s poradovými číslami, kt…“