Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc - História úprav

Juraj na 18:47, 30. júl 2010

2010-07-30T18:47:28Z

Zobraziť rozdiely

Repto: /* Diagonálne matice */

2010-05-30T21:54:59Z

Diagonálne matice

Repto: /* Matice */

2010-05-30T21:44:37Z

Matice

Repto na 21:33, 30. máj 2010

2010-05-30T21:33:01Z

Repto na 21:31, 30. máj 2010

2010-05-30T21:31:00Z

Repto na 18:55, 30. máj 2010

2010-05-30T18:55:00Z

Repto na 18:54, 30. máj 2010

2010-05-30T18:54:04Z

Repto na 18:05, 30. máj 2010

2010-05-30T18:05:18Z

Repto na 11:18, 30. máj 2010

2010-05-30T11:18:54Z

Juraj na 13:36, 8. marec 2010

2010-03-08T13:36:22Z

@@ Riadok 109: / Riadok 109: @@
-Horná bidiagonálna matica Dolná bidiagonálna matica
+Horná bidiagonálna matica
-[[Image:Untitled%201_html_6c55de17.png]] [[Image:Untitled%201_html_m1022a49c.png]]
@@ Riadok 122: / Riadok 127: @@
 plus a&nbsp;mínus jeden, '''skupinovo diagonálne systémy''' sú všeobecnejšie. Majú m1 ≥ 0 nenulových prvkov priamo vľavo(pod)od diagonály a m2<nowiki> ≥ 0 nenulových prvkov napravo(nad)od diagonály[6]. Diagonály nachádzajúce sa nad hlavnou diagonálou sa nazývajú superdiagonály. Subdiagonály sú naopak diagonály, ktoré sa nachádzajú pod hlavnou diagonálou. </nowiki>
 === Trojuholníkové matice  ===

@@ Riadok 98: / Riadok 98: @@
 '''Transponovaná matica''' , je matica ktorá vznikne vymenením prvkov pôvodnej matice. Vymení sa súradnica riadku za súradnicu stĺpca. Potom transponovaná matica k&nbsp;matici A&nbsp;je :
-AT<nowiki>=</nowiki>[[Image:Untitled%201_html_39d2bb89.png]]
+A<sup>T</sup><nowiki>=</nowiki>[[Image:Untitled%201_html_39d2bb89.png]]
 '''Inverzná matica '''[[Image:Untitled%201_html_m7e0b28e3.png]] k&nbsp;štvorcovej [[Image:Untitled%201_html_696253c7.png]] matici A&nbsp;je taká , pre ktorú platí [[Image:Untitled%201_html_m5456b175.png]] , kde I&nbsp;je identická matica typu [[Image:Untitled%201_html_696253c7.png]]. K&nbsp;matici A&nbsp;existuje inverzná matica vtedy, keď je determinant matice A&nbsp;nenulový. Matica, ku ktorej existuje inverzná matica sa nazýva '''regulárna '''<nowiki>matica[5][6]. </nowiki>
@@ Riadok 152: / Riadok 152: @@
 kde je blok matice Aij tvorený prvkami matice A:
-A11 = [[Image:Untitled%201_html_m3d3ac50a.png]] A12 = [[Image:Untitled%201_html_4a93fe51.png]]
+A<sub>11</sub> = [[Image:Untitled%201_html_m3d3ac50a.png]] A<sub>12</sub> = [[Image:Untitled%201_html_4a93fe51.png]]
-A21 = [[Image:Untitled%201_html_m12099fb8.png]] A22 = [[Image:Untitled%201_html_757e3860.png]]
+A<sub>21</sub> = [[Image:Untitled%201_html_m12099fb8.png]] A<sub>22</sub> = [[Image:Untitled%201_html_757e3860.png]]
 <nowiki>[3][6]</nowiki>

@@ Riadok 143: / Riadok 143: @@
 Majme nasledovnú maticu A.
-<center>A = [[Image:Untitled%201_html_4ffcae58.png]]</center>
+A = [[Image:Untitled%201_html_4ffcae58.png]]
 Potom môžeme danú maticu zapísať nasledovne:
-<center>A=[[Image:Untitled%201_html_m21ac2751.png]]</center>
+A=[[Image:Untitled%201_html_m21ac2751.png]]
 kde je blok matice Aij tvorený prvkami matice A:
-<center>A11 = [[Image:Untitled%201_html_m3d3ac50a.png]] A12 = [[Image:Untitled%201_html_4a93fe51.png]]</center>
+A11 = [[Image:Untitled%201_html_m3d3ac50a.png]] A12 = [[Image:Untitled%201_html_4a93fe51.png]]
 A21 = [[Image:Untitled%201_html_m12099fb8.png]] A22 = [[Image:Untitled%201_html_757e3860.png]]

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 21:31, 30. máj 2010
Riadok 45:		Riadok 45:


−	s neznámymi ~~x_1~~,~~x_2~~,...,~~x_n~~.	+	s neznámymi x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>,...,x<sub>n</sub>.

	Matica A(i,j) , kde i,j=1,..... n, sa nazýva maticou sústavy stĺpcový vektor b =(b1, ...., bn)^T vektor pravých strán .		Matica A(i,j) , kde i,j=1,..... n, sa nazýva maticou sústavy stĺpcový vektor b =(b1, ...., bn)^T vektor pravých strán .

@@ Riadok 9: / Riadok 9: @@
 |Mechatronika
 }}
-{{Praca_uvod|1|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|Sústavy lineárnych rovníc a matice|Klasické metódy riešenia sústav lineárnych rovníc|Priame metódy pre riešenie veľkých sústav rovníc|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|Softvérové balíky pre riešenie veľkých lineárnych systémov||||||||||}}
+{{Praca_uvod|1|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|Sústavy lineárnych rovníc a matice|Klasické metódy riešenia sústav lineárnych rovníc|Priame metódy pre riešenie veľkých sústav rovníc|Moderné metódy riešenia veľkých sústav rovníc|Softvérové balíky pre riešenie veľkých lineárnych systémov||||||||||}}
 {{abstrakt
 |Práca sa zaoberá metódami vhodnými pre riešenie veľkých sústav lineárnych rovníc.  Prvá časť sa zaoberá klasickými metódami pre riešenie sústav lineárnych rovníc. V ďalšej  časti sú opísané priame metódy  riešenia veľkých sústav .  Tretia časť sa venuje moderným iteračným metódam. V práci sa podrobne zaoberáme metódou konjugovaných gradientov a geometrickou multigridovou metódou. Pre tieto dve metódy sme vypracovali ukážkové príklady riešenia. Posledná časť sa zaoberá využitím týchto metód.

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 18:05, 30. máj 2010
Riadok 79:		Riadok 79:

	==Matice==		==Matice==
		+
		+	Matica typu m[[Image:Untitled%201_html_4e44f889.png]]n je sústava mn čísiel, ktoré sú usporiadané v tvare obdĺžnikovej tabuľky. Všeobecná matica typu m[[Image:Untitled%201_html_4e44f889.png]]n je opísaná nasledovne:
		+
		+	A=[[Image:Untitled%201_html_m7af6f254.png]]
		+
		+	Prvok v i-tom riadku a j-tom stĺpci označujeme [[Image:Untitled%201_html_m49e52707.png]] (i=1, ..., m , j=1, ..., n)sú reálne prvky matice.
		+
		+	Matica A=[[Image:Untitled%201_html_m6a6585d2.png]]sa nazýva štvorcová ak m=n, teda ak má rovnaký počet riadkov a stĺpcov.
		+
		+	A=[[Image:Untitled%201_html_2dcaaa4e.png]]
		+
		+	Dôležitou štvorcovou je tzv. '''identická''' alebo '''jednotková matica'''. Jednotková matica má na diagonále jednotky a ostatné prvky u nulové. Označujeme ju písmenom I.
		+
		+	I=[[Image:Untitled%201_html_7d6b44a2.png]]
		+
		+	Pri násobení matíc má identická matica postavenie analogické číslu 1 pri násobení reálnych čísel. AI=IA=A
		+
		+	'''Transponovaná matica''' , je matica ktorá vznikne vymenením prvkov pôvodnej matice. Vymení sa súradnica riadku za súradnicu stĺpca. Potom transponovaná matica k matici A je :
		+
		+	AT<nowiki>=</nowiki>[[Image:Untitled%201_html_39d2bb89.png]]
		+
		+	'''Inverzná matica '''[[Image:Untitled%201_html_m7e0b28e3.png]] k štvorcovej [[Image:Untitled%201_html_696253c7.png]] matici A je taká , pre ktorú platí [[Image:Untitled%201_html_m5456b175.png]] , kde I je identická matica typu [[Image:Untitled%201_html_696253c7.png]]. K matici A existuje inverzná matica vtedy, keď je determinant matice A nenulový. Matica, ku ktorej existuje inverzná matica sa nazýva '''regulárna '''<nowiki>matica[5][6]. </nowiki>
		+
		+	=== Diagonálne matice ===
		+	Diagonálna matica A je štvorcová matica typu n x n ktorá má nenulové prvky na hlavnej diagonále.
		+
		+
		+	Existujú aj bidiagonálne a trojdiagonálne matice. Bidiagonálna matica je taká diagonálna matica, ktorá má ešte navyše nenulové horné (horná bidiagonálna matica) alebo dolné susedné prvky k diagonále (dolná bidiagonálna matica).
		+
		+
		+	Horná bidiagonálna matica Dolná bidiagonálna matica
		+
		+	[[Image:Untitled%201_html_6c55de17.png]] [[Image:Untitled%201_html_m1022a49c.png]]
		+
		+
		+	Ak sú nenulové horné aj dolné susedné prvky ku diagonálne, vtedy hovorí o trojdiagonálnej matici.
		+
		+	[[Image:Untitled%201_html_m7667af1.png]]
		+
		+
		+	Na rozdiel od trojdiagonálnych systémov, ktoré majú nenulové prvky len na diagonále
		+
		+	plus a mínus jeden, '''skupinovo diagonálne systémy''' sú všeobecnejšie. Majú m1 ≥ 0 nenulových prvkov priamo vľavo(pod)od diagonály a m2<nowiki> ≥ 0 nenulových prvkov napravo(nad)od diagonály[6]. Diagonály nachádzajúce sa nad hlavnou diagonálou sa nazývajú superdiagonály. Subdiagonály sú naopak diagonály, ktoré sa nachádzajú pod hlavnou diagonálou. </nowiki>
		+
		+
		+	=== Trojuholníkové matice ===
		+	Trojuholníkové matice sú také matice, kde všetky prvky pod alebo nad diagonálou sú
		+
		+	nulové. Keď sú nulové prvky nad diagonálou hovoríme o dolnej trojuholníkovej matici, a naopak keď sú nulové prvky pod hlavnou diagonálou hovoríme o hornej trojuholníkovej matici .
		+
		+
		+	Dolná trojuholníková matica Horná trojuholníková matica
		+
		+	[[Image:Untitled%201_html_mad4a9fb.png]] [[Image:Untitled%201_html_73ceb1e2.png]]
		+
		+	<nowiki>[5][6]</nowiki>
		+
		+	=== Blokové matice ===
		+	Blokové matice sa používajú pre zjednodušenie počítania s maticami veľkých rozmerov.
		+
		+	Bloková matica je nejaká maticu A, ktorú rozdelíme na bloky [[Image:Untitled%201_html_1762b84b.png]].
		+
		+	Majme nasledovnú maticu A.
		+
		+	<center>A = [[Image:Untitled%201_html_4ffcae58.png]]</center>
		+
		+
		+	Potom môžeme danú maticu zapísať nasledovne:
		+
		+	<center>A=[[Image:Untitled%201_html_m21ac2751.png]]</center>
		+
		+	kde je blok matice Aij tvorený prvkami matice A:
		+
		+	<center>A11 = [[Image:Untitled%201_html_m3d3ac50a.png]] A12 = [[Image:Untitled%201_html_4a93fe51.png]]</center>
		+
		+	A21 = [[Image:Untitled%201_html_m12099fb8.png]] A22 = [[Image:Untitled%201_html_757e3860.png]]
		+
		+	<nowiki>[3][6]</nowiki>
		+
		+	=== Ortogonálne matice ===
		+	Ortogonálna matica (matica s ortonormálnymi stĺpcami) je matica so stĺpcami jednotkovej dĺžky, ktoré sú na seba kolmé. Matica typu [[Image:Untitled%201_html_696253c7.png]] je ortogonálna, ak [[Image:Untitled%201_html_12aad0e5.png]]. Podľa tejto rovnice má matica Q inverznú maticu a  platí [[Image:Untitled%201_html_m5665d8ff.png]] . Potom platí [[Image:Untitled%201_html_m34195d4f.png]]<nowiki>. Potom tieto tri vzťahy sú ekvivalentné a môžeme ich považovať za definíciu ortogonálnej matice [6].

@@ Riadok 11: / Riadok 11: @@
 {{Praca_uvod|1|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|Sústavy lineárnych rovníc a matice|Klasické metódy riešenia sústav lineárnych rovníc|Metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|||||||||}}
 {{abstrakt
-|slovenksy.
+|Práca sa zaoberá metódami vhodnými pre riešenie veľkých sústav lineárnych rovníc.  Prvá časť sa zaoberá klasickými metódami pre riešenie sústav lineárnych rovníc. V ďalšej  časti sú opísané priame metódy  riešenia veľkých sústav .  Tretia časť sa venuje moderným iteračným metódam. V práci sa podrobne zaoberáme metódou konjugovaných gradientov a geometrickou multigridovou metódou. Pre tieto dve metódy sme vypracovali ukážkové príklady riešenia. Posledná časť sa zaoberá využitím týchto metód.
-|anglicky
 }}
 __TOC__
 '''Úvod'''
-V technickej praxi je častou úlohou riešiť sústavu lineárnych rovníc Ax= b  s maticou rádu n, kde n je veľké číslo. Rozmery týchto matíc môžu byť rádovo v státisícoch, ale aj väčšie.  Výpočet takýchto sústav sa v súčasnosti realizuje samozrejme na počítači. Pri takýchto sústavách lineárnych rovníc sú niektoré tradičné metódy nepoužiteľné alebo sú neefektívne a časovo náročné. Taktiež niektoré z nich môžu pri maticiach veľmi veľkých rozmerov alebo zle podmienených maticiach zlyhať.
+V technickej praxi je častou úlohou riešiť sústavu lineárnych rovníc Ax= b  s maticou rádu n, kde n je veľké číslo. Rozmery týchto matíc môžu byť rádovo v státisícoch, ale aj väčšie.   Pri takýchto sústavách lineárnych rovníc sú niektoré tradičné metódy nepoužiteľné alebo sú neefektívne a časovo náročné. Taktiež niektoré z nich môžu pri maticiach veľmi veľkých rozmerov alebo zle podmienených maticiach zlyhať.
-Stretávame sa s dvomi typmi systémov lineárnych rovníc. Systém lineárnych rovníc sa nazýva plný, ak väčšina prvkov je nenulová.  Naopak riedke systémy sú také,  kde len relatívne málo prvkov je nenulových. Pre riešenie riedkych systémov možno využiť ich vlastnosti. Vďaka tomu možno riešiť prostredníctvom niektorých algoritmov tieto matice efektívnejšie.
+Stretávame sa s dvomi typmi systémov lineárnych rovníc. Systém lineárnych rovníc sa nazýva plný, ak väčšina prvkov je nenulová.  Naopak riedke systémy sú také,  kde len relatívne málo prvkov je nenulových. Pre riešenie riedkych systémov možno využiť ich vlastnosti. Vďaka tomu možno riešiť prostredníctvom niektorých algoritmov tieto matice efektívnejšie. Veľké riedke systémy je v technickej praxi veľmi často potrebné riešiť, napr. pri riešení parciálnych diferenciálnych rovníc.
 Metódy pre riešenie lineárnych rovníc delíme na priame metódy a iteračné metódy. Priame metódy vedú k riešeniu po konečnom počte krokov. Naopak iteračné metódy konvergujú k riešeniu a presnosť riešenia je závislá od počtu iterácií .  Priame metódy sú všeobecne vhodnejšie pre plné matice, naopak pre riedke systémy sú vhodné iteračné metódy.
-Známe sú priame metódy ako Cramerovo pravidlo, použitie inverznej matice a  Gaussova eliminačná metóda. Cramerovo pravidlo a použitie inverznej matice sú vhodne len pre matice malých rozmerov. Gaussovu eliminačnú metódu možno použiť pre riešenie plných systémov. Pri riedkych systémoch veľkých rozmerov použitím Gaussovej eliminačnej metódy môže dôjsť k zaplneniu pôvodne nulových prvkov nenulovými prvkami a algoritmus môže zlyhať. Pre riešenie veľkých matíc sa kvôli jej náročnosti častejšie používajú jej modifikácie. Taktiež sú známe klasické iteračné algoritmy ako je Jacobiho metóda a Gauss Seidelova metóda. Tieto sú vhodné aj pre riedke matice veľkých rozmerov.
+Známe sú klasické priame metódy ako Cramerovo pravidlo, použitie inverznej matice a  Gaussova eliminačná metóda. Tieto však nie sú pre systémy veľkých rozmerov vhodné.  Taktiež sú známe klasické iteračné algoritmy ako je Jacobiho metóda a Gauss Seidelova metóda. Tieto sú vhodné aj pre riedke matice veľkých rozmerov.
-V posledných desaťročiach bolo vypracovaných niekoľko úspešných algoritmov pre riešenie veľkých sústav lineárnych rovníc.  V tejto práci sa venujeme riešeniu rovníc so všeobecnými maticami veľkých rozmerov, ale taktiež riešeniu diagonálnych a skupinovo diagonálnych  systémov, kde sú nenulové prvky len na diagonále a v okolí nej. Pre riešenie lineárnych systémov sú opísané niektoré rozklady, ktoré rozdelia danú maticu sústavy na zväčša dve jednoduchšie sústavy. Tieto zjednodušené zväčša trojuholníkové systémy sa potom riešia podľa algoritmov, ktoré sú tiež v tejto práci opísané.
+Pre priame riešenie veľkých sústav je známych niekoľko algoritmov. V tejto práci je opísaný LU rozklad a Choleského rozklad. Tieto rozklady sa v rôznych obmenených podobách používajú pre priame riešenie veľkých sústav lineárnych rovníc.
 =Sústavy lineárnych rovníc a matice=

@@ Riadok 2: / Riadok 2: @@
 [[Kategória:Ročníkové práce]]
 [[Kategória:Matematika]]
 {{Hlavička_FM
 |{{PAGENAME}}|Bc. Peter Poruban|Ing. Michal Štepanovský, PhD