http://www.kiwiki.info/index.php?action=history&feed=atom&title=Met%C3%B3dy_rie%C5%A1enia_ve%C4%BEk%C3%BDch_s%C3%BAstav_line%C3%A1rnych_rovn%C3%ADcMetódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc - História úprav2026-04-16T17:03:46ZHistória úprav pre túto stránku na wikiMediaWiki 1.34.0http://www.kiwiki.info/index.php?title=Met%C3%B3dy_rie%C5%A1enia_ve%C4%BEk%C3%BDch_s%C3%BAstav_line%C3%A1rnych_rovn%C3%ADc&diff=4668&oldid=prevRepto: /* Použitá literatúra */2010-05-30T11:25:13Z<p><span dir="auto"><span class="autocomment">Použitá literatúra</span></span></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="sk">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Staršia verzia</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Verzia zo dňa a času 11:25, 30. máj 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l25" >Riadok 25:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Riadok 25:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#FAJMON, Bretislav , RUŽICKOVÁ, Irena. Matematika 3. Brno : Vysoké Učení Technické v Brne, 2005. 252 s. Dostupný z WWW: <http://www.umat.feec.vutbr.cz/~fajmon/inm/matematika3.pdf>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#FAJMON, Bretislav , RUŽICKOVÁ, Irena. Matematika 3. Brno : Vysoké Učení Technické v Brne, 2005. 252 s. Dostupný z WWW: <http://www.umat.feec.vutbr.cz/~fajmon/inm/matematika3.pdf>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Skriptá, Bratislava: STU, Dostupný z WWW:<http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/index.html>.</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Skriptá, Bratislava: STU, Dostupný z WWW:<http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/index.html>.</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#DOBÁK, Radoslav. Využitie blokových matíc pri riešení úloh lineárnej algebry . 2009. 51 s. <del class="diffchange diffchange-inline">Bratislava</del>. <del class="diffchange diffchange-inline"> Dostupný </del>z WWW: <http://www.iam.fmph.uniba.sk/studium/efm/diplomovky/2009/dobak/diplomovka.pdf><del class="diffchange diffchange-inline">.</del></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#DOBÁK, Radoslav. Využitie blokových matíc pri riešení úloh lineárnej algebry . <ins class="diffchange diffchange-inline">Bratislava, </ins>2009. 51 s. <ins class="diffchange diffchange-inline">Univerzita Komenského v Bratislave</ins>. <ins class="diffchange diffchange-inline">Dostupné </ins>z WWW: <http://www.iam.fmph.uniba.sk/studium/efm/diplomovky/2009/dobak/diplomovka.pdf > </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Numerické metódy matematiky I. Dostupný z WWW: <http://fyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska4.pdf></div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#<ins class="diffchange diffchange-inline">Prednáška 4 : </ins>Numerické metódy matematiky I. Dostupný z WWW: <http://fyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska4.pdf></div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Brezová Martina. Choleského metóda. 2006. Bratislava. Dostupný z WWW:< http://www.mtakac.com/aap/ref/brezova.pdf></div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>#Brezová Martina. Choleského metóda. 2006. Bratislava. Dostupný z WWW:< http://www.mtakac.com/aap/ref/brezova.pdf></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">#Prednáška 5 : Numerické metódy matematiky I. Dostupný z WWW: <http://fyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska5.pdf></ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">#Wikipedia [online]. 2007, 19.4.2010 [cit. 2010-05-2]. Conjugate gradient method. Dostupné z WWW: <http://en.wikipedia.org/wiki/Conjugate_gradient_method>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">#SAAD, Y. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. Manchester , 2000. 447 s. Dostupné z WWW: <http://www.stanford.edu/class/cme324/saad.pdf>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">#KALTENBACHER, Manfred. Numerical Simulation of Mechatronic Sensors and Actuators. 2nd Edition. Berlin : Springer, 2007. 428 s. ISBN 978-3-540-71359-3.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">#HULSEMANN, Frank. Parallel Geometric Multigrid ,2008. 44 s. Dostupné z WWW: <http://www10.informatik.unierlangen.de/Publications/Papers/2005/PGM_LNCSE51.pdf>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">#GOULD, N.; HU, Y.; SCOTT, J. A numerical evaluation of sparse direct solvers [online]. 2005 [cit. 2010-05-09]. Dostupné z WWW: <ftp://ftp.numerical.rl.ac.uk/pub/reports/ghsRAL200505.pdf>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">#MEEKER, David. Finite Element Method Magnetics User’s Manual [online]., 2007, 5.2.2009 [cit. 2010-05-09]. Dostupné z WWW: <http://www.femm.info/Archives/doc/manual42.pdf>.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">#ŠTEPANOVSKÝ, Michal. Metóda konečných prvkov : Sprievodný materiál k semináru IT Power Knowledge</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">#BRIGGS, William. A Multigrid Tutorial.. 119 s. Dostupné z WWW: <http://www.cfm.brown.edu/people/gk/APMA2821F/mgtut_part1.pdf>.</ins></div></td></tr>
</table>Reptohttp://www.kiwiki.info/index.php?title=Met%C3%B3dy_rie%C5%A1enia_ve%C4%BEk%C3%BDch_s%C3%BAstav_line%C3%A1rnych_rovn%C3%ADc&diff=4667&oldid=prevRepto na 11:20, 30. máj 20102010-05-30T11:20:20Z<p></p>
<table class="diff diff-contentalign-left" data-mw="interface">
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<col class="diff-marker" />
<col class="diff-content" />
<tr class="diff-title" lang="sk">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">← Staršia verzia</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #222; text-align: center;">Verzia zo dňa a času 11:20, 30. máj 2010</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l12" >Riadok 12:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Riadok 12:</td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Choleského rozklad==</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>==Choleského rozklad==</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=Záver=</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=Záver=</div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Cieľom mojej práce bolo oboznámiť sa s riešením sústav veľkých lineárnych rovníc a opísať a porovnať niektoré z existujúcich algoritmov. V práci som sa zameral na opis niektorých existujúcich algoritmov pre riešenie <del class="diffchange diffchange-inline">všeobecných </del>sústav lineárnych rovníc. </div></td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Cieľom mojej práce bolo oboznámiť sa s riešením sústav veľkých lineárnych rovníc a opísať a porovnať niektoré z existujúcich algoritmov. V práci som sa zameral na opis niektorých existujúcich algoritmov pre riešenie sústav lineárnych rovníc<ins class="diffchange diffchange-inline">. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">V práci sú opísané niektoré klasické algoritmy pre riešenie sústav lineárnych rovníc. Cramerovo pravidlo a riešenie pomocou inverznej matice sú vhodné len pre veľmi malé sústavy. Gaussova eliminačná metóda taktiež pre veľké matice nie je príliš vhodná, pretože je potrebné veľké množstvo operácií pre riešenie veľkých sústav. Takisto pri eliminácii môžu vzniknúť chyby. Preto sa skôr používajú jej modifikácie. Klasické iteračné metódy: Jacobiho a Gauss – Seidelova sú vhodné pre väčšie matice a riedke matice. Keďže množstvo nulových prvkov v riedkych maticiach znižuje počet potrebných operácií a výpočtovú náročnosť, sú tieto metódy vhodné aj pre veľké riedke sústavy lineárnych rovníc. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Ďalšia časť sa zaoberá priamymi metódami pre riešenie veľkých sústav. Sú tu opísané dva algoritmy rozkladu pre zjednodušenie veľkých matíc: LU rozklad a Choleského rozklad. Je viacero metód, ako možno rozložiť maticu do podoby niektorého z rozkladov. Na týchto rozkladoch sú založené niektoré moderné priame metódy. V tejto práci sú opísané len základné algoritmy, ako možno tieto rozklady uskutočniť.</ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Hlavná časť práce je venovaná moderným iteračným metódam riešenia veľkých sústav. Pozornosť sa tu venuje tzv. gradientným metódam a multigridovým metódam. Pri gradientných metódach sa zostrojí postupnosť vektorov , ktorá konverguje k riešeniu sústavy. Metóda konjugovaných gradientov je vhodná len pre symetrické kladne definitné matice, naopak metóda bikonjugovaných gradientov a GMRES sa používajú pre nesymetrické systémy. Je tu vypracovaný aj ukážkový príklad riešenia sústavy malých rozmerov prostredníctvom metódy konjugovaných gradientov. Ďalej sa táto časť zaoberá multigridovými metódami. Geometrické multigridové metódy vyžadujú informáciu o hierarchii daného systému, naopak algebraické multigridové metódy nepotrebujú túto hierarchiu poznať. Algebraické sú vhodnejšie pre úlohy s neregulárnou štruktúrou. Pre objasnenie metódy geometrického multigridu sme vypracovali ukážkový príklad riešenia jednoduchej úlohy. </ins></div></td></tr>
<tr><td colspan="2"> </td><td class='diff-marker'>+</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><ins class="diffchange diffchange-inline">Posledná časť práce sa zaoberá aplikáciou a použitím daných metód. Sú tu opísané niektoré knižnice ktoré v sebe implementujú niektoré z uvedených metód. Taktiež sú tu opísané simulačné programy, ktoré využívajú niektoré z týchto metód a knižníc</ins>. </div></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Opísal som niektoré klasické algoritmy pre riešenie sústav lineárnych rovníc. Cramerovo pravidlo a riešenie pomocou inverznej matice sú vhodné len pre veľmi malé matice sústavy. Gaussova eliminačná metóda taktiež pre veľké matice nie je príliš vhodná, pretože je potrebné veľké množstvo operácií pre riešenie veľkých sústav. Takisto pri eliminácii môžu vzniknúť chyby. Preto sa častejšie používajú jej modifikácie. Klasické iteračné metódy: Jacobiho a Gauss – Seidelova sú vhodné pre väčšie matice a riedke matice. Keďže množstvo nulových prvkov v riedkych maticiach znižuje počet potrebných operácií a výpočtovú náročnosť , sú tieto metódy vhodné aj pre veľké riedke sústavy lineárnych rovníc. </del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;"></del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'>−</td><td style="color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div><del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">Ďalej som sa zameral na algoritmy rozkladov veľkých všeobecných matíc. Tieto metódy sú vhodné pre riešenie plných. Sú tu opísané tri algoritmy rozkladu pre zjednodušenie veľkých matíc: LU rozklad, QR – rozklad a Choleského rozklad. Je viacero metód, ako možno rozložiť maticu do podoby niektorého z rozkladov. V tejto práci sú opísané len niektoré základné algoritmy, ako možno tieto rozklady uskutočniť. Po aplikácii týchto algoritmov rozložíme pôvodnú veľkú maticu na súčin dvoch matíc. Pri LU rozklade dostávame súčin dolnej a hornej trojuholníkovej matice, pri QR rozklade je to súčin ortogonálnej a hornej trojuholníkovej matice. Pri Choleského rozklade rozložíme maticu na dolnú trojuholníkovú maticu a jej transponovanú maticu. Choleského rozklad je efektívnejší ako tradičný LU rozklad, ale možno ho aplikovať len na symetrické kladne definitné systémy. Pri niektorých typoch sústav je výhodnejšie použiť QR rozklad, napr. pre zle podmienené systémy. Tieto rozklady vedú k riešeniu systémov trojuholníkových matíc, ktorých spôsoby riešenia sú v práci tiež opísané.</del></div></td><td colspan="2"> </td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"></td></tr>
<tr><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=Použitá literatúra=</div></td><td class='diff-marker'> </td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #222; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>=Použitá literatúra=</div></td></tr>
</table>Reptohttp://www.kiwiki.info/index.php?title=Met%C3%B3dy_rie%C5%A1enia_ve%C4%BEk%C3%BDch_s%C3%BAstav_line%C3%A1rnych_rovn%C3%ADc&diff=2517&oldid=prevJuraj: Vytvorená stránka „Kategória:Študentské práce Kategória:Ročníkové práce Kategória:Matematika {{Praca_uvod|3|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovn…“2010-03-05T09:06:30Z<p>Vytvorená stránka „<a href="/index.php/Kateg%C3%B3ria:%C5%A0tudentsk%C3%A9_pr%C3%A1ce" title="Kategória:Študentské práce">Kategória:Študentské práce</a> <a href="/index.php/Kateg%C3%B3ria:Ro%C4%8Dn%C3%ADkov%C3%A9_pr%C3%A1ce" title="Kategória:Ročníkové práce">Kategória:Ročníkové práce</a> <a href="/index.php/Kateg%C3%B3ria:Matematika" title="Kategória:Matematika">Kategória:Matematika</a> {{Praca_uvod|3|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovn…“</p>
<p><b>Nová stránka</b></p><div>[[Kategória:Študentské práce]]<br />
[[Kategória:Ročníkové práce]]<br />
[[Kategória:Matematika]]<br />
{{Praca_uvod|3|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|Sústavy lineárnych rovníc a matice|Klasické metódy riešenia sústav lineárnych rovníc|Metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|||||||||}}<br />
__TOC__<br />
= =<br />
==Riešenie trojuholníkových systémov==<br />
==LU rozklad blokových matíc==<br />
==Riešenie blokových trojdiagonálnych systémov==<br />
==QR rozklad==<br />
==Gram - Schmidtov algoritmus ==<br />
==Choleského rozklad==<br />
=Záver=<br />
Cieľom mojej práce bolo oboznámiť sa s riešením sústav veľkých lineárnych rovníc a opísať a porovnať niektoré z existujúcich algoritmov. V práci som sa zameral na opis niektorých existujúcich algoritmov pre riešenie všeobecných sústav lineárnych rovníc. <br />
<br />
Opísal som niektoré klasické algoritmy pre riešenie sústav lineárnych rovníc. Cramerovo pravidlo a riešenie pomocou inverznej matice sú vhodné len pre veľmi malé matice sústavy. Gaussova eliminačná metóda taktiež pre veľké matice nie je príliš vhodná, pretože je potrebné veľké množstvo operácií pre riešenie veľkých sústav. Takisto pri eliminácii môžu vzniknúť chyby. Preto sa častejšie používajú jej modifikácie. Klasické iteračné metódy: Jacobiho a Gauss – Seidelova sú vhodné pre väčšie matice a riedke matice. Keďže množstvo nulových prvkov v riedkych maticiach znižuje počet potrebných operácií a výpočtovú náročnosť , sú tieto metódy vhodné aj pre veľké riedke sústavy lineárnych rovníc. <br />
<br />
Ďalej som sa zameral na algoritmy rozkladov veľkých všeobecných matíc. Tieto metódy sú vhodné pre riešenie plných. Sú tu opísané tri algoritmy rozkladu pre zjednodušenie veľkých matíc: LU rozklad, QR – rozklad a Choleského rozklad. Je viacero metód, ako možno rozložiť maticu do podoby niektorého z rozkladov. V tejto práci sú opísané len niektoré základné algoritmy, ako možno tieto rozklady uskutočniť. Po aplikácii týchto algoritmov rozložíme pôvodnú veľkú maticu na súčin dvoch matíc. Pri LU rozklade dostávame súčin dolnej a hornej trojuholníkovej matice, pri QR rozklade je to súčin ortogonálnej a hornej trojuholníkovej matice. Pri Choleského rozklade rozložíme maticu na dolnú trojuholníkovú maticu a jej transponovanú maticu. Choleského rozklad je efektívnejší ako tradičný LU rozklad, ale možno ho aplikovať len na symetrické kladne definitné systémy. Pri niektorých typoch sústav je výhodnejšie použiť QR rozklad, napr. pre zle podmienené systémy. Tieto rozklady vedú k riešeniu systémov trojuholníkových matíc, ktorých spôsoby riešenia sú v práci tiež opísané.<br />
<br />
=Použitá literatúra=<br />
#Parallel Algorithms for Matrix Computations. Philadelphia : Society for Industrial and Applied Mathematics, 1990. 195 s. ISBN 0898712602<br />
#TIMOTHY A. Davis: Direct Methods for Sparse Linear Systems : Fundamentals of Algorithms. Society for Industrial and Applied Mathematic, 2006. 217 s. ISBN 0898716136.<br />
#GOLUB G. H. , Van Loan Ch. F., Matrix computations, The John Hopkins University Press, 1996. 694 s. ISBN 0801854148<br />
#FAJMON, Bretislav , RUŽICKOVÁ, Irena. Matematika 3. Brno : Vysoké Učení Technické v Brne, 2005. 252 s. Dostupný z WWW: <http://www.umat.feec.vutbr.cz/~fajmon/inm/matematika3.pdf>.<br />
#Skriptá, Bratislava: STU, Dostupný z WWW:<http://www-kmadg.svf.stuba.sk/skripta/index.html>.<br />
#DOBÁK, Radoslav. Využitie blokových matíc pri riešení úloh lineárnej algebry . 2009. 51 s. Bratislava. Dostupný z WWW: <http://www.iam.fmph.uniba.sk/studium/efm/diplomovky/2009/dobak/diplomovka.pdf>.<br />
#Numerické metódy matematiky I. Dostupný z WWW: <http://fyzikazeme.sk/mainpage/stud_mat/menm/prednaska4.pdf><br />
#Brezová Martina. Choleského metóda. 2006. Bratislava. Dostupný z WWW:< http://www.mtakac.com/aap/ref/brezova.pdf></div>Juraj