Klasické metódy riešenia sústav lineárnych rovníc - História úprav

Juraj na 19:17, 30. júl 2010

2010-07-30T19:17:10Z

Zobraziť rozdiely

Repto na 21:43, 30. máj 2010

2010-05-30T21:43:08Z

Repto na 20:24, 30. máj 2010

2010-05-30T20:24:23Z

Repto na 18:33, 30. máj 2010

2010-05-30T18:33:33Z

Repto na 18:23, 30. máj 2010

2010-05-30T18:23:47Z

Juraj: Vytvorená stránka „Kategória:Študentské práce Kategória:Ročníkové práce Kategória:Matematika {{Praca_uvod|2|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovn…“

2010-03-05T09:03:46Z

Vytvorená stránka „Kategória:Študentské práce Kategória:Ročníkové práce Kategória:Matematika {{Praca_uvod|2|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovn…“

Nová stránka

[[Kategória:Študentské práce]]
[[Kategória:Ročníkové práce]]
[[Kategória:Matematika]]
{{Praca_uvod|2|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|Sústavy lineárnych rovníc a matice|Klasické metódy riešenia sústav lineárnych rovníc|Metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|||||||||}}
__TOC__
= =
==Priame metódy==
==Iteračné metódy==

@@ Riadok 32: / Riadok 32: @@
-<center>a22 x2 + ··· + a2n xn = b2 </center>
+a<sub>11</sub> x<sub>1</sub> + a<sub>12</sub> x<sub>2</sub> + ··· + a<sub>1n</sub> x<sub>n</sub> = b<sub>1</sub>
 Nové koeficienty vypočítame ako[[Image:Untitled%201_html_m66602679.png]] Teraz budeme pomocou vhodných násobkov druhej rovnice eliminovať x2 v&nbsp;tretej, štvrtej a&nbsp;n-tej rovnici. Opäť ak je a22<nowiki>=0, vymeníme druhú rovnicu s&nbsp;prvou z&nbsp;ďalších rovníc, v&nbsp;ktorej x</nowiki>2 je nenulová. Touto úpravou dostávame:
-<center>a22 x2 + a23 x3 + ··· + a2n xn = b2 </center>
+a<sub>11</sub> x<sub>1</sub> + a<sub>12</sub> x<sub>2</sub> + a<sub>13</sub> x<sub>3</sub> ··· + a<sub>1n</sub> x<sub>n</sub> = b<sub>1</sub>
-<center>a33 x3 + ··· + a3n xn = b3 </center>
+a<sub>33</sub> x<sub>3</sub> + ··· + a<sub>3n</sub> x<sub>n</sub> = b<sub>3</sub>
 kde [[Image:Untitled%201_html_m64a5d78.png]]
@@ Riadok 59: / Riadok 58: @@
 Ak pokračujeme ďalej rovnakým spôsobom , dostaneme po n-1 krokoch sústavu v&nbsp;trojuholníkovom &nbsp;tvare
-<center>a33 x3 + ··· + a3n xn = b3 </center>
+a<sub>33</sub> x<sub>3</sub> + ··· + a<sub>3n</sub> x<sub>n</sub> = b<sub>3</sub>
-<center>ann xn = bn</center>
+a<sub>nn</sub> x<sub>n</sub> = b<sub>n</sub>

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 18:33, 30. máj 2010
Riadok 87:		Riadok 87:

	Gaussova eliminačná metóda je pre veľké matice veľmi časovo náročná. Vyžaduje n3 operácií . Preto je táto metóda vhodná len pre riešenie nie príliš rozsiahlych sústav lineárnych rovníc. Jej modifikácie <nowiki>sa používajú pri niektorých iných metódach [4][5].		Gaussova eliminačná metóda je pre veľké matice veľmi časovo náročná. Vyžaduje n3 operácií . Preto je táto metóda vhodná len pre riešenie nie príliš rozsiahlych sústav lineárnych rovníc. Jej modifikácie <nowiki>sa používajú pri niektorých iných metódach [4][5].
		+
		+	</nowiki>
		+
		+	== Iteračné metódy ==
		+	Druhou skupinou metód pre riešenie sústav lineárnych rovníc sú '''iteračné metódy'''. Iteračné metódy na rozdiel od priamych metód nevedú k presnému riešeniu po konečnom počte krokov. U iteračných metód sa zvolí počiatočná aproximácia riešenia a určitým postupom ju v každom kroku metódy zlepšujeme. K riešeniu sa približujeme postupne a väčšinou ho dosiahneme až v limite. Avšak výpočet nemožno prevádzať do nekonečna, preto ho po istom čase ukončíme. Výsledkom bude približné riešenie sústavy. Štandardné eliminačné metódy nie sú vhodné na riešenie väčších riedkych sústav lineárnych rovníc. Pretože v priebehu eliminácie postupne dochádza k zaplňovaniu pôvodne nenulových pozícií v matici sústavy - matica prestáva byť riedkou. Naopak iteračné metódy sú vhodné aj pre riešenie veľkých riedkych systémov, pretože nulové prvky v riedkych systémoch zjednodušujú iterácie. Vďaka tomu sa zjednodušuje výpočtová náročnosť.
		+
		+	=== Jacobiho metóda ===
		+	Maticu A rozložíme na súčet [[Image:Untitled%201_html_m62e15c23.png]] , kde D je diagonálna matica, ktorá má rovnakú diagonálu ako A. L je dolná trojuholníková časť matice A a U je horná trojuholníková časť matice A
		+
		+	[[Image:Untitled%201_html_m50986641.png]] [[Image:Untitled%201_html_m6517c304.png]]
		+
		+
		+	Jacobiho iteračnú metódu definujeme na základe rozkladu  [[Image:Untitled%201_html_2d246193.png]] , kde [[Image:Untitled%201_html_61ae277a.png]] a [[Image:Untitled%201_html_m428e7dc2.png]] a zapisujeme ju v tvare [[Image:Untitled%201_html_4b590df3.png]].
		+
		+	Sústava s diagonálnou maticou sa rieši ľahko. Ak ju zapíšeme po zložkách dostaneme
		+
		+
		+	[[Image:Untitled%201_html_m1dd89cf1.png]]Analýzou vlastností iteračnej matice [[Image:Untitled%201_html_m500824df.png]] možno ukázať , že Jacobiho metóda konverguje , keď A je rýdzo diagonálne dominantná.
		+
		+
		+	'''Definícia:''' Hovoríme, že matica[[Image:Untitled%201_html_m1fd48037.png]] je '''rýdzo diagonálne dominantná''', ak
		+
		+
		+	<nowiki>Teda inými slovami, v každom riadku je absolútna hodnota diagonálneho prvku väčšia ako súčet absolútnych hodnôt ostatných prvkov tohto riadku [7] .</nowiki>
		+
		+
		+	=== Gauss-Seidelova metóda ===
		+	Je podobná ako Jacobiho metóda. Líši sa v tom že pri výpočte ďalšej aproximácie sa vždy použijú najnovšie približné hodnoty x1,x2,...,xn, ktoré sú k dispozícii.
		+
		+
		+	V maticovom tvare : [[Image:Untitled%201_html_m136f2e51.png]]
		+
		+
		+	Analýzou vlastností iteračnej matice [[Image:Untitled%201_html_m3f9eccb1.png]] možno ukázať , že Gauss – Seidelova metóda konverguje , keď A je rýdzo diagonálne dominantná alebo kladne definitná.
		+
		+	'''Definícia:''' Hovoríme, že matica A je pozitívne definitná, ak pre ľubovoľný nenulový vektor
		+
		+	X platí: [[Image:Untitled%201_html_m40da36b.png]] .
		+
		+	<nowiki>Gauss-seidelova metóda konverguje rýchlejšie, a vyžaduje približne polovicu iterácií oproti Jacobiho metóde [7].

@@ Riadok 2: / Riadok 2: @@
 [[Kategória:Ročníkové práce]]
 [[Kategória:Matematika]]
-{{Praca_uvod|2|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|Sústavy lineárnych rovníc a matice|Klasické metódy riešenia sústav lineárnych rovníc|Metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|||||||||}}
+{{Praca_uvod|2|Moderné metódy riešenia veľkých sústav lineárnych rovníc|Sústavy lineárnych rovníc a matice|Klasické metódy riešenia sústav lineárnych rovníc|Priame metódy pre riešenie veľkých sústav rovníc|Moderné metódy riešenia veľkých sústav rovníc|Softvérové balíky pre riešenie veľkých lineárnych systémov||||||||||}}
 __TOC__
 = =

@@ Riadok 5: / Riadok 5: @@
 __TOC__
 = =
 ==Priame metódy==
-==Iteračné metódy==