Juraj na 21:12, 18. február 2011

2011-02-18T21:12:47Z

Juraj: Vytvorená stránka „{{Navigacne menu - java}} V tejto časti budeme pracovať už s vytvorenou triedou Complex a využijeme ju pri zisťovaní vlastností komplexný…“

2011-02-16T22:18:26Z

Vytvorená stránka „{{Navigacne menu - java}} V tejto časti budeme pracovať už s vytvorenou triedou Complex a využijeme ju pri zisťovaní vlastností komplexný…“

Nová stránka

{{Navigacne menu - java}}
V tejto časti budeme pracovať už s vytvorenou triedou [[Java - trieda Complex|Complex]] a využijeme ju pri zisťovaní vlastností komplexných čísel. V nasledujúcom texte bude ukázaný spôsob tvorvy fraktálov. V tomto prípade sa bude jednať o vyšetrovanie vlastností komplexných čísel na určitej oblasti v komplexnej rovine. Fraktál v našom podaní bude bitová mapa, ktorej pixely budú ofarbené podľa hdonoty komplxného čísla, ktoré pripadá na tento fraktál. Hlavou úlohou v celom procese vykresľovania je vhodne určiť farbu vykresľovania.

Aplikáciu budeme vytvárať ako applet (trieda java.applet.Applet).

==Fraktál 1 - pokus o fraktál==
Celý proces vytvárania si rozdeľme do jednoduchých krokov:
===Vytvorenie appletu===
Vo vývojovom prostredí si vytvorme nový applet. Obrázok fraktálu budeme vykresľovať na celú jeho plochu. Predpokladom bude, že táto plocha bude vždy štvorcová, teda šírka plochy bude rovnaká ako jej výška. Jej veľkosť sa dá nastaviť v metóde ''init'' pomocou volania metódy ''setSize()''. V našom prípade nastavíme rozmery na 400px × 400px.

Ďalšia vec ktorú potebujeme definovať je oblasť na komplexnej rovine, kde budeme skúmať vlstnosti komplexných čísel pri určitých operáciách. Táto oblasť bude taktiež vždy štvorcového tvaru so stranou ''2*a'' (a=2). Budeme teda skúmať komplexné čísla na oblasti od (-2-i2) po (2+i2).

Veľkosť kresliacej plochy a oblasť na komplexnej rovine ilustreuje nasledujúci obrázok:

[[Súbor:Applet fraktal1.png|thumb|center|300px|Zobrazenie rozmerov appletu a zobrazovanej oblasti komplexnej roviny]]

Keďže budeme pracovať s komplexnými číslami, v triede appletu ''Fraktal'' deklarujeme objekt z (typu ''Complex'') a v metóde ''init'' ho inicializujeme.

V nasledujúcom zdrojovom kóde sú tieto poznaky zapísané:

<source lang="java">
import java.applet.Applet;
import java.awt.Color;
import java.awt.Graphics;

public class Fraktal extends Applet {
private Complex z;
private double a;

public void init() {
this.setSize(400, 400);
this.a = 2.0;
z = new Complex();
}

public void paint(Graphics g) {
}
}
</source>

===Určenie farby pri vykresľovaní fraktálu===
Každý pixel a applete predstavuje jedno komplexné číslo (ako je ukázané na nasledujúcom obrázku).

[[Súbor:Applet fraktal2.png|thumb|center|300px|Zobrazenie komplexných čísel v komplexnej rovine]]

Farbu daného pixelu budú určovať vlastnosti komplexného čísla, ktoré je daným pixelom reprezentované. Pre určenie farby je vhodný farebný model HSV<ref>http://en.wikipedia.org/wiki/HSL_and_HSV</ref>. Na rozdiel od farebného modelu RGB, kde sa určuje podiel červenej, zelenej a modrej farby, v modeli HSB sa určuje odtieň (Hue), sýtosť (Saturation) a intezita (Value) farby.

Pre určenie farby môžeme postupovať rôznymi spôsobmi.
====Farby fraktálu - model A====
Skúsme nasledujúci spôsob ododenia farby pixelu (pixel reprezentuje komplexné číslo na danej pozícii)
* odtieň (H) bude úmerný uhlu <math>\phi</math> komplexného čísla,
* sýtosť (S) bude úmerná veľkosti komplexného čísla,
* intenzita (V) bude vždy 1

Všetky 3 hodnoty musia byť v intervale <nowiki><0,1></nowiki>. Uhol <math>\phi</math> je v rozmedzí <math>(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})</math>, veľkosť komplexného čísla je úmerná hodnote ''a'' a je v intervale <math>(0,\sqrt{2}a)</math>

Táto transformácia hodnôt je jednoduchá. V prípade uhla <math>\phi</math> stačí k hodnote <math>\phi</math> pripočítať PI/2, čím dostaneme interval <math>(0,2\pi)\,</math> a túto hodnotu vydeliť hodnotu 2PI, čím dostaneme hodnoty z intervalu (0,1).

Pritransormácii veľkosti komplexného čísla na hodnotu z intervalu (0,1) môžeme použiť funckiu hyberbolický tangens<ref>http://www.dplot.com/fct_tanh.htm</ref>, ktorá má definičný obor množinu reálnych čísel a obor hodnôt interval (-1,1). Potom stači pripočítať hodnotu 1 a celé vydeliť hodnotou 2, čím oäť získame hodnotu z intervalu (0,1).

====Farby fraktálu - model B====
Určenie farby je niekedy umenie. Treba skúšať a hľadať tie správne vzťahy. Skúsme nasledujúce závislosti
* odtieň (H) bude úmerný uhlu <math>\phi</math> komplexného čísla,
* sýtosť (S) bude úmerná sínusu uhla <math>\phi</math>
* intenzita (V) bude úmerná kosínusu uhla <math>\phi</math>

Opäť je potrebné tieto hodnoty transformovať tak, aby sme dostali hdonoty na intervale (0,1). V prípade sínusu a kosínusu je úloha jednoduchá. Keďže obor hodnôt týchto funkcií je (-1,1) stačí k danej hodnote pripočítať hodnotu 1 a celé to vydeliť hodnotou 2.

===Vykreslenie fraktálu===
V metóde ''paint()'' si vytvoríme cyklus, pomocou ktorého prejdeme všetky pixely na applete. Pre každý pixel nastavíme adekvátnu hodnotu komplexného čísla. Podľa uhla <math>\phi</math> veľkosti komplexného čísla určíme farbu vykresľovania daného pixelu.

Vysvetlenie k nasledujúcemu zdrojovému kódu:
* ''a'' - interval na ktorom kreslíme fraktál
* ''krok'' - premenná, ktorá reprezentuje číselnú hodnotu jedného pixelu. Ak máme a=2 a šírku appletu 400px, potom krok=2a/sirka=0.001,
* ''x,y'' - súradnice pri vykresľovaní v pixeloch
* ''i,j'' - súradnice v komplexnej rovine. Ich hodnoty sa pohybyjú v intervale (-a,a)
* ''h,s,v'' - farebné zložky
* ''b'' - farba, ktorú určíme jednou z predchádzajúcich metód výpočtu farby

<source lang="java">
public void paint(Graphics g) {
double krok = (2 * a) / this.getWidth();
int x, y;
double i, j;
float h, s, v;
Color b;

for (i = -a, x = 0; i < a; i += krok, x++) {
for (j = -a, y = 0; j < a; j += krok, y++) {
z.setComplex(i, j);
//Metoda A
h = (float) ((z.getFi() + Math.PI) / (Math.PI * 2));
s = (float) ((Math.tanh(z.getR()) + 1) / 2);
v=1;

//Metoda B
//h = (float) ((z.getFi() + Math.PI) / (Math.PI * 2));
//s=(float) ((Math.cos(z.getFi()) + 1) / 2);
//v=(float) ((Math.sin(z.getFi()) + 1) / 2);

b = new Color(Color.HSBtoRGB(h, s, v));
g.setColor(b);
g.drawLine(x, y, x, y);
}
}
}
</source>

V tomto prípade je farba pixelu odvodená od komplexnej funkcie f(z)=z.

Výsledok
[[Súbor:fraktál - model A.png|thumb|300px|center|Farebný model A]]

[[Súbor:fraktál - model B.png|thumb|300px|center|Farebný model B]]

===Blížšie k fraktálu===
Namiesto komplexnej funkcie f(z)=z si zoberme funkcie <math>f(z)=z^2-1</math>. V zdrojovom kóde sa za výraz z.setComplex(i, j), ktorý reprezentuje samotnú funkciu f(z)=z pridajú nasledujúce riadky:
<source lang="java">
z.setComplex(i, j); // tento riadok bol povodny
z = z.pow(2);
z = z.add(-1);
</source>

Výsledok
[[Súbor:fraktál2 - model A.png|thumb|300px|center|Farebný model A (z^2-1)]]

[[Súbor:fraktál2 - model B.png|thumb|300px|center|Farebný model B (z^2-1)]]

'''V ďalšej iterácii''' vylepšovania skúsme predchádzajúci kód niekoľkokrát zopakovať. V nasledujúcom zdrojovom kóde je počet iterácií výpočtu komplexnej funkcie 5.

<source lang="java">
for (i = -a, x = 0; i < a; i += krok, x++) {
for (j = -a, y = 0; j < a; j += krok, y++) {
z.setComplex(i, j);

for (int k = 0; k < 5; k++) {
z = z.pow(2);
z = z.add(-1);
}

h = (float) ((z.getFi() + Math.PI) / (Math.PI * 2));
s = (float) ((Math.tanh(z.getR()) + 1) / 2);
v=1;

b = new Color(Color.HSBtoRGB(h, s, v));
g.setColor(b);
g.drawLine(x, y, x, y);
}
}
</source>

[[Súbor:fraktál3 - model A.png|thumb|300px|center|Farebný model A (z^2-1), 5 iterácií]]

[[Súbor:fraktál3 - model B.png|thumb|300px|center|Farebný model B (z^2-1), 5 iterácií]]

[[Súbor:fraktál4 - model A.png|thumb|300px|center|Farebný model A (z^2-1), 15 iterácií]]

[[Súbor:fraktál4 - model B.png|thumb|300px|center|Farebný model B (z^2-1), 15 iterácií]]

Pri posledných obrázkoch je vidieť formovanie určitého tvaru. Tento tvar má názov Júliuova množina<ref>http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set</ref>, čo je fraktál.
==Zdroje a odkazy==
<references/>

@@ Riadok 160: / Riadok 160: @@
 Pri posledných obrázkoch je vidieť formovanie určitého tvaru. Tento tvar má názov Júliuova množina<ref>http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set</ref>, čo je fraktál.
 ==Zdroje a odkazy==
 <references/>

Java applety - fraktály - História úprav

Juraj na 21:12, 18. február 2011

Juraj: Vytvorená stránka „{{Navigacne menu - java}} V tejto časti budeme pracovať už s vytvorenou triedou Complex a využijeme ju pri zisťovaní vlastností komplexný…“