Juraj: Vytvorená stránka „{{navigacne menu - java}} Ďalšími numerickými algoritmami sú algoritmy numerického integrovania. Pri výpočte integrálu pomocou numerických metód vychádzame z fa…“

2011-04-08T20:17:24Z

Vytvorená stránka „{{navigacne menu - java}} Ďalšími numerickými algoritmami sú algoritmy numerického integrovania. Pri výpočte integrálu pomocou numerických metód vychádzame z fa…“

Nová stránka

{{navigacne menu - java}}
Ďalšími numerickými algoritmami sú algoritmy numerického integrovania. Pri výpočte integrálu pomocou numerických metód vychádzame z faktu, hodnota určitého integrálu je plocha pod krivkou (definuje je integrovaná funkcia), ohraničená hranicami integrovania.

[[Súbor:numericky integral - definicia.png|center|thumb|400px|Interpretácia určitého integrálu]]

Túto často nepravidelnú plochu si rozdelíme na také časti, ktorých plochu vieme spočítať a potom všetky tieto časti sčítame.

[[Súbor:numericky integral - princip.png|center|thumb|400px|Princíp výpočtu určitého integrálu numerickými metódami]]

Podľa spôsobu rozdelenia celej plochy na jednotlivé časti poznáme metódy výpočtu určitého integrálu:
*Obdĺžniková metóda
*Lichobežníková metóta
*Simpsonova metóda

==Obdĺžniková metóda==
Pri tejto metóde si plochu rozdelíme na obdĺžniky, ako to ukazuje nasledujúci obrázok:

[[Súbor:numericky integral - obdlznik princip.png|center|thumb|400px|Princíp výpočtu určitého integrálu obdĺžnikovou metódou]]

Integrál, ktorý počítame môžeme zapísať nasledovne:

<math>\begin{align}
& I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{{{P}_{i}}}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{h\cdot f\left( \frac{{{x}_{i}}+{{x}_{i+1}}}{2} \right)}=h\sum\limits_{i=0}^{n-1}{f\left( \frac{{{x}_{i}}+{{x}_{i+1}}}{2} \right)} \\
& kde\,h=\frac{b-a}{n} \\
\end{align}</math>

Všimnite si, že výška jedného obdĺžnika sa vypočíta ako aritmetický priemer susedných funkčných hodnôt.

===Implementácia v Jave===
Triedu ''Solver'' doplníme o metódu ''integralObdlznik'':

<source lang="java">
public double integralObdlznik(double a, double b, int n) {
double krok = (b - a) / n;
double I = 0, x;
for (x = a; x < b; x += krok) {
I += this.f.hodnota((2 * x + krok) / 2);
}
return I * krok;
}
</source>

==Lichobežníková metóda==
Táto metóda je veľmi podobná predchádzajúcej, ale plochu nerozdelíme na obdĺžniky, ako na lichobežníky:

[[Súbor:numericky integral - lichobeznik princip.png|center|thumb|400px|Princíp výpočtu určitého integrálu lichobežníkovou metódou]]

Integrál, ktorý počítame môžeme zapísať nasledovne:

<math>\begin{align}
& I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{{{P}_{i}}}=\sum\limits_{i=0}^{n-1}{h\cdot \frac{f\left( {{x}_{i}} \right)+f\left( {{x}_{i+1}} \right)}{2}}=\frac{h}{2}\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\left( f\left( {{x}_{i}} \right)+f\left( {{x}_{i+1}} \right) \right)}=h\left( \frac{1}{2}f\left( {{x}_{0}} \right)+\sum\limits_{i=1}^{n-2}{f\left( {{x}_{i}} \right)+\frac{1}{2}f\left( {{x}_{n-1}} \right)} \right) \\
& kde\,h=\frac{b-a}{n} \\
\end{align}</math>

===Implementácia v Jave===
Triedu ''Solver'' doplníme o metódu ''integralLichobeznik'':

<source lang="java">
public double integralLichobeznik(double a, double b, int n) {
double krok = (b - a) / n;
double I = 0, x;
for (x = a + krok; x < b - krok; x += krok) {
I += this.f.hodnota(x);
}
I += (this.f.hodnota(a) + this.f.hodnota(b)) / 2;
return I * krok;
}
</source>

==Simpsonova metóda==
Táto metóda je presnejšia, ale výpočet trvá dlhší čas. Časti, na ktoré rozdelíme plochu budú zhora ohraničené parabolou. Obsah časti zhora ohraničenej parabolou je na nasledujúcom obrázku.

[[Súbor:numericky integral - simpsonprincip.png|center|thumb|400px|Princíp výpočtu určitého integrálu Simpsonovou metódou]]

Integrál, ktorý počítame môžeme zapísať nasledovne:

<math>\begin{align}
& I=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\sum\limits_{i=a}^{b}{{{P}_{i}}}=\sum\limits_{i=a}^{b}{\frac{h}{3}\cdot \left( f\left( {{x}_{i-2}} \right)+4f\left( {{x}_{i-1}} \right)+f\left( {{x}_{i}} \right) \right)}=\frac{h}{3}\sum\limits_{i=a}^{b}{f\left( {{x}_{i-2}} \right)+4f\left( {{x}_{i-1}} \right)+f\left( {{x}_{i}} \right)} \\
& kde\,h=\frac{b-a}{n} \\
\end{align}</math>

===Implementácia v Jave===
Triedu ''Solver'' doplníme o metódu ''integralSimpson'':

<source lang="java">
public double integralSimpson(double a, double b, int n) {
double krok = (b - a) / n;
double I = 0, x;
for (x = a + 2 * krok; x <= b; x += 2 * krok) {
I += (this.f.hodnota(x - 2 * krok) + 4 * this.f.hodnota(x - krok) + this.f.hodnota(x));
}
return I * krok / 3;

}
</source>

==Implementácia algoritmov numerického integrovania v Java aplikácii==
Vo vzorovej aplikácii pridáme na kartu 'Integrál' komponenty podľa nasledujúceho obrázku:

[[Súbor:numericky integral - aplikacia 1.png|center|thumb|400px|Karta Integrál]]

Opis komponentov:

'''buttonGroup'''
*do aplikácie pridáme nevizuálny komponent buttonGroup
*názov komponentu integralGroup

'''RadioButton'''
*Obdĺžniková metóda
**názov komponentu rbObdlznik,
**vlastnosť buttonGroup: integralGroup
*Lichobežníková metóta
**názov komponentu rbLichobeznik,
**vlastnosť buttonGroup: integralGroup
*Simpsonova metóda
**názov komponentu rbSimpson,
**vlastnosť buttonGroup: integralGroup

'''textField'''
* zadávanie začiatku intervalu integrovania : a
**názov komponentu: textIntegralA
* zadávanie konca intervalu integrovania : b
**názov komponentu: textIntegralB
* zadávanie hodnoty n - delenie intervalu
**názov komponentu: textIntegralN

'''label'''
* text, pre zobrazenie výsledku integrovania (na obrázku 0.00000)
**názov komponentu: labelntegralVysledok
**prednastavený text komponentu: 0.00000

'''button'''
* tlačidlo 'Integruj!' slúži na spustenie výpočtu integrálu
**názov komponentu: btnIntegruj
**udalosť tlačidla: actionPerformed

Obsluha tlačítka 'Integruj!':

<source lang="java">
private void btnIntegrujActionPerformed(java.awt.event.ActionEvent evt) {
double a, b, I = 0;
int n;
a = Double.valueOf(textIntegralA.getText());
b = Double.valueOf(textIntegralB.getText());
n = Integer.valueOf(textIntegralN.getText());
if (rbObdlznik.isSelected()) {
I = this.s.integralObdlznik(a, b, n);
}
if (rbLichobeznik.isSelected()) {
I = this.s.integralLichobeznik(a, b, n);
}
if (rbSimpson.isSelected()) {
I = this.s.integralSimpson(a, b, n);
}
labelntegralVysledok.setText(String.valueOf(I));
}
</source>

===Vizualizácia vypočítané integrálu===
Do aplikácie doplníme zobrazenie hraníc integrálu a plochu pod integrovanou krivkou vyšrafujeme. Šrafovanie bude pozdĺžne. Budeme teda na intervale <nowiki><a,b></nowiki> kresliť zvislé čiary. Doplníme predchádzajúcu metódu:

<source lang="java">
private void btnIntegrujActionPerformed(java.awt.event.ActionEvent evt) {
double a, b, I = 0;
int n;
a = Double.valueOf(textIntegralA.getText());
b = Double.valueOf(textIntegralB.getText());
n = Integer.valueOf(textIntegralN.getText());
if (rbObdlznik.isSelected()) {
I = this.s.integralObdlznik(a, b, n);
}
if (rbLichobeznik.isSelected()) {
I = this.s.integralLichobeznik(a, b, n);
}
if (rbSimpson.isSelected()) {
I = this.s.integralSimpson(a, b, n);
}
labelntegralVysledok.setText(String.valueOf(I));

//srafovanie
g.setColor(Color.DARK_GRAY);
double x,y,krok;
krok=t.getKrok()*3;
for(x=a;x<b;x+=krok){
y=f.hodnota(x);
g.drawLine(t.getX(x),t.getY(0) ,t.getX(x), t.getY(y));
}
}
</source>

Výsledok:

[[Súbor:numericky integral - aplikacia 2.png|center|thumb|400px|Vizualizácia hodnoty integrálu]]

Java - algoritmy numerického integrovania - História úprav

Juraj: Vytvorená stránka „{{navigacne menu - java}} Ďalšími numerickými algoritmami sú algoritmy numerického integrovania. Pri výpočte integrálu pomocou numerických metód vychádzame z fa…“