Java - algoritmy numerického derivovania - História úprav

Juraj: /* Použitie metód derivácie v aplikácii */

2013-03-05T14:28:12Z

Použitie metód derivácie v aplikácii

Juraj na 13:20, 7. apríl 2011

2011-04-07T13:20:08Z

Juraj: Vytvorená stránka „{{navigacne menu - java}} Medzi ďalšie numerické algoritmy patria algoritmy numerického derivovania. Nasledujúce algoritmy budeme dopĺňať do triedy ''Solver''. V na…“

2011-04-07T09:48:13Z

Vytvorená stránka „{{navigacne menu - java}} Medzi ďalšie numerické algoritmy patria algoritmy numerického derivovania. Nasledujúce algoritmy budeme dopĺňať do triedy ''Solver''. V na…“

Nová stránka

{{navigacne menu - java}}
Medzi ďalšie numerické algoritmy patria algoritmy numerického derivovania. Nasledujúce algoritmy budeme dopĺňať do triedy ''Solver''. V nasledujúcom texte budú ukázané 2 metódy numerického derivovania. Prvá metóda je priamo odvodená z definície derivácie a druhá metóda používa rozdielové diferencie.

==Algoritmy numerického derivovania==
===Základná numerická derivácia===
Drivácia funkcie f(x) je definovaná ako:

<math>{f}'\left( x \right)=\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x+h \right)-f\left( x \right)}{h}</math>

Z tejto definíce budeme vychádzať aj pri implementácii algoritmu derivovania. Limitu v predchádzajúcom vzorci nahradíme tým, že do premennej ''h'' dosadíme hodnotu blížiacu sa k nule.

V triede ''Solver'' sme doplnili premennú h, ktorej význam je najlepšie vidieť z predchádzajúceho vzorca. V nasledujúcom zdrojovom kóde je uvedený aj konštruktor triedy ''Solver'', v ktorom je doplnená inicializácie premennej h. Ešte poznamenajme, že počítame deriváciu funkcie ''f'', ktorá je členským objektom v triede ''Solver''.

<source lang="java">
public class Solver {

private FunkceM f;
public double h;

public Solver(FunkceM f) {
this.f = f;
this.h = 0.0000001;
}

//...

public double derivacia1(double x0) {
return (this.f.hodnota(x0 + this.h) - this.f.hodnota(x0)) / this.h;
}

//...

}
</source>

===Derivácia pomocou rozdielových diferencií===
Prvá derivácie funkcie f(x) sa dá definovať aj nasledovne:

<math>{f}'\left( {{x}_{0}} \right)=\frac{1}{h}\left( \frac{\Delta {{y}_{-1}}+\Delta {{y}_{1}}}{2}-\frac{1}{6}\frac{{{\Delta }^{3}}{{y}_{-1}}-{{\Delta }^{3}}{{y}_{1}}}{2} \right)</math>

kde <math>\Delta{y}</math> sú rozdielové diferencie. Tieto diferencie sa dajú znázorniť nasledovne:

[[Súbor:numerica derivacia1.png|center|thumb|400px|Rozdielové diferencie]]

Pre výpočet jednotlivých diferencií je potrebné poznať hodnotu ''h''. Jej význam je rovnaký ako v predchádzajúcom príklade. Pre výpočet diferencií platia vzťahy:

<math>\begin{align}
& \Delta {{y}_{-2}}=f\left( {{x}_{0}}-h \right)-f\left( {{x}_{0}}-2h \right) \\
& \Delta {{y}_{-1}}=f\left( {{x}_{0}} \right)-f\left( {{x}_{0}}-h \right) \\
& \Delta {{y}_{1}}=f({{x}_{0}}+h)-f\left( {{x}_{0}} \right) \\
& \Delta {{y}_{2}}=f({{x}_{0}}+2h)-f\left( {{x}_{0}}+h \right) \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& {{\Delta }^{2}}{{y}_{-1}}=\Delta {{y}_{-1}}-\Delta {{y}_{-2}} \\
& {{\Delta }^{2}}{{y}_{0}}=\Delta {{y}_{1}}-\Delta {{y}_{-1}} \\
& {{\Delta }^{2}}{{y}_{1}}=\Delta {{y}_{2}}-\Delta {{y}_{1}} \\
\end{align}</math>

<math>\begin{align}
& {{\Delta }^{3}}{{y}_{-1}}={{\Delta }^{2}}{{y}_{0}}-{{\Delta }^{2}}{{y}_{-1}} \\
& {{\Delta }^{3}}{{y}_{1}}={{\Delta }^{2}}{{y}_{1}}-{{\Delta }^{2}}{{y}_{0}} \\
\end{align}</math>

<math>{{\Delta }^{4}}{{y}_{0}}={{\Delta }^{3}}{{y}_{1}}-{{\Delta }^{3}}{{y}_{-1}}\,</math>

Na nasledujúcom obrázku je znázornený geometrický význam rozdielových diferencií.

[[Súbor:numerica derivaciaľ.png|center|thumb|400px|Geometrický význam rozdielových diferencií]]

@@ Riadok 220: / Riadok 220: @@
 </source>
-Na nasledujúcom obrázku je červenou farbou nakreslená funkcia <math>cos(2x)-x</math> a červenou farbou je vykreslená prvá derivácia.
+Na nasledujúcom obrázku je červenou farbou nakreslená funkcia <math>cos(2x)-x</math> a oranžovou farbou je vykreslená prvá derivácia.
 [[Súbor:numerica derivacia4- aplikacia.png|center|thumb|400px|Riešenie numerickej derivácie]]

← Staršia verzia		Verzia zo dňa a času 13:20, 7. apríl 2011
Riadok 73:		Riadok 73:

	[[Súbor:numerica derivaciaľ.png\|center\|thumb\|400px\|Geometrický význam rozdielových diferencií]]		[[Súbor:numerica derivaciaľ.png\|center\|thumb\|400px\|Geometrický význam rozdielových diferencií]]
		+
		+	Triedu '''Solver''' doplníme nasledovne:
		+
		+	<source lang="java">
		+	public double derivacia2(double x0) {
		+	double delta[] = new double[5];
		+	delta[0] = this.f.hodnota(x0 - 2 * this.h);
		+	delta[1] = this.f.hodnota(x0 - this.h);
		+	delta[2] = this.f.hodnota(x0);
		+	delta[3] = this.f.hodnota(x0 + this.h);
		+	delta[4] = this.f.hodnota(x0 + 2 * this.h);
		+
		+	// vypocet delta
		+	for (int i = 0; i < 4; i++) {
		+	delta[i] = delta[i + 1] - delta[i];
		+	}
		+	double derivace = (delta[1] + delta[2]) / 2;
		+
		+	// vypocet delta^2
		+	for (int i = 0; i < 3; i++) {
		+	delta[i] = delta[i + 1] - delta[i];
		+	}
		+
		+	// vypocet delta^3
		+	for (int i = 0; i < 2; i++) {
		+	delta[i] = delta[i + 1] - delta[i];
		+	}
		+
		+	derivace -= (delta[0] - delta[1]) / 12;
		+
		+	return derivace / this.h;
		+	}
		+	</source>
		+
		+	Poznámky k zdrojovému kódu:
		+	* pre výpočet diferencií <math>\Delta{y}</math> sme použili jednorozmerné pole derivace
		+	* v jednotlivých cyklch for počítame <math>\Delta{y}</math>, <math>\Delta^2{y}</math> a <math>\Delta^3{y}</math>
		+	* V poslednom kroku dosad9me diferencie do vzorca na výpočet derivácie.
		+
		+	==Použitie metód derivácie v aplikácii==
		+	Vo vzorovej aplikácii pridáme na kartu 'Drivácia' komponenty podľa nasledujúceho obrázku:
		+
		+	[[Súbor:numerica derivacia3 - aplikacia.png\|center\|thumb\|400px\|Návrh vizuálnej podoby aplikácie v časti derivácia]]
		+
		+	Opis komponentov:
		+
		+	'''buttonGroup'''
		+	*do aplikácie pridáme nevizuálny komponent buttonGroup
		+	*názov komponentu derivaciaGroup
		+
		+	'''RadioButton'''
		+	* Derivácia 1:
		+	**názov komponentu rbDerivacia1,
		+	**vlastnosť buttonGroup: derivaciaGroup
		+	* Derivácia 2:
		+	**názov komponentu rbDerivacia2
		+	**vlastnosť buttonGroup: derivaciaGroup
		+
		+	'''textField'''
		+	*Slúži na zadanie bodu x0, v ktorom budeme počítať deriváciu
		+	**názov komponentu: textX0
		+
		+	'''label'''
		+	*Zobrazenie výsledku derivácie (je pod komponentom textX0). Na predchádzajúcom obrázku má hodnotu 0.000 .
		+	**názov komponentu: labelDerivacia
		+	* Ostatné komponenty ''label'' slúžia iba na zobrazenie textu, ktorý sa počas behu programu nemení.
		+
		+	'''button'''
		+	* tlačidlo 'Derivuj!' slúži na spustenie výpočtu derivácie
		+	**názov komponentu: btnDerivuj
		+	**udalosť tlačidla: actionPerformed
		+
		+	'''checkBox'''
		+	*Zaškrtávacie tlačidlo využijeme pri možnsti vykresliť priebeh derivácie
		+	**názov komponentu: cbKresliDerivaciu
		+
		+
		+	Obsluha tlačítka 'Derivuj!':
		+
		+	<source lang="java">
		+	private void btnDerivujActionPerformed(java.awt.event.ActionEvent evt) {
		+	double x0 = Double.valueOf(textX0.getText());
		+	if (rbDerivacia1.isSelected()) {
		+	x0 = s.derivacia1(x0);
		+	}
		+	if (rbDerivacia1.isSelected()) {
		+	x0 = s.derivacia2(x0);
		+	}
		+	labelDerivacia.setText(String.valueOf(x0));
		+	}
		+	</source>
		+
		+
		+	'''Vykreslenie priebehu derivácie.'''
		+
		+	Zmena, resp. doplnenie kódu bude v metóde ''tlcKresliActionPerformed'', ktorá sa stará o vykreslenie matematickej funkcie. V nasledujpcom zdrojovom kóde je uvedený výpis celej metódy ''tlcKresliActionPerformed''.
		+
		+	<source lang="java">
		+	private void tlcKresliActionPerformed(java.awt.event.ActionEvent evt) {
		+	int sirka, vyska; //sirka a vyska panelu na kreslenie
		+	sirka = panel.getWidth();
		+	vyska = panel.getHeight();
		+	t.setSize(sirka, vyska);
		+
		+	g = panel.getGraphics();
		+	g.setColor(Color.GRAY);
		+	g.drawLine(0, vyska / 2, sirka, vyska / 2);
		+	g.drawLine(sirka / 2, 0, sirka / 2, vyska);
		+
		+	g.setColor(Color.RED);
		+	double x1, y1, x2, y2 = 0;
		+	int X1, Y1, X2, Y2;
		+	x1 = -t.getStrana();
		+	y1 = f.hodnota(x1);
		+	for (x2 = -t.getStrana(); x2 < t.getStrana(); x2 += t.getKrok()) {
		+	y2 = f.hodnota(x1);
		+	X1 = t.getX(x1);
		+	X2 = t.getX(x2);
		+	Y1 = t.getY(y1);
		+	Y2 = t.getY(y2);
		+	g.drawLine(X1, Y2, X2, Y2);
		+
		+	x1 = x2;
		+	y1 = y2;
		+	}
		+
		+	// doplnenie vykreslovania priebehu prvej derivacie
		+	if (cbKresliDerivaciu.isSelected()) {
		+	g.setColor(Color.ORANGE);
		+	x1 = -t.getStrana();
		+	y1 = s.derivacia2(x1);
		+
		+	for (x2 = -t.getStrana() + t.getKrok(); x2 < t.getStrana(); x2 += t.getKrok()) {
		+	if (rbDerivacia1.isSelected()) {
		+	y2 = s.derivacia1(x2);
		+	}
		+	if (rbDerivacia2.isSelected()) {
		+	y2 = s.derivacia2(x2);
		+	}
		+	g.drawLine(t.getX(x1), t.getY(y1), t.getX(x2), t.getY(y2));
		+	x1 = x2;
		+	y1 = y2;
		+	}
		+	}
		+	}
		+	</source>
		+
		+	Na nasledujúcom obrázku je červenou farbou nakreslená funkcia <math>cos(2x)-x</math> a červenou farbou je vykreslená prvá derivácia.
		+
		+	[[Súbor:numerica derivacia4- aplikacia.png\|center\|thumb\|400px\|Riešenie numerickej derivácie]]