Juraj na 08:06, 11. máj 2011

2011-05-11T08:06:47Z

Juraj: Vytvorená stránka „{{navigacne menu - java}} Interpolácia je matematický algoritmus, kde máme k dispozícii ''n'' bodov v rovine XY a úlohou je nájsť taký polynóm, ktorý prechádza c…“

2011-05-11T06:35:25Z

Vytvorená stránka „{{navigacne menu - java}} Interpolácia je matematický algoritmus, kde máme k dispozícii ''n'' bodov v rovine XY a úlohou je nájsť taký polynóm, ktorý prechádza c…“

Nová stránka

{{navigacne menu - java}}
Interpolácia je matematický algoritmus, kde máme k dispozícii ''n'' bodov v rovine XY a úlohou je nájsť taký polynóm, ktorý prechádza cez všetky zadané body. Pri ''n'' bodoch dokážeme vypočítať polynóm stupňa ''n-1''. Všeobecný tvar polynómu je:

<math>f(x)=a_nx^n+a_{n+1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0</math>

==Interpolačný polynóm==
Najpriamejším (aj keď nie najjednoduchším) spôsobom ako vypočítať interpolačný polynóm je jednoducho dosadiť známe body do predchádzajúcej rovnice. Vznikne nám tak sústava n rovníc o n neznámych. Majme nasledujúce body:

{|class=wikitable
|+Tabuľka vstupných bodov pre interpoláciu
|-
!x
|1||2||5||8||10
|-
!y
|0||4||7||5||2
|}

Pre tieto body dostávame sústavu rovníc:

<math>
\begin{array}{lcr}
0=a_4 1^4 + a_3 1^3 + a_2 1^2 + a_1 1^1 + a_0 1^0 \\
4=a_4 2^4 + a_3 2^3 + a_2 2^2 + a_1 2^1 + a_0 2^0 \\
7=a_4 5^4 + a_3 5^3 + a_2 5^2 + a_1 5^1 + a_0 5^0 \\
5=a_4 8^4 + a_3 8^3 + a_2 8^2 + a_1 8^1 + a_0 8^0 \\
2=a_4 10^4 + a_3 10^3 + a_2 10^2 + a_1 10^1 + a_0 10^0 \\
\end{array}
</math>

Čo môžeme zapísať ako maticovú rovnicu:

<math>
\begin{pmatrix}
1^4 & 1^3 & 1^2 & 1^1 & 1^0 \\
2^4 & 2^3 & 2^2 & 2^1 & 2^0 \\
5^4 & 5^3 & 5^2 & 5^1 & 5^0 \\
8^4 & 8^3 & 8^2 & 8^1 & 8^0 \\
10^4 & 10^3 & 10^2 & 10^1 & 10^0 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a_0\\
a_1\\
a_2\\
a_3\\
a_4\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
4\\
7\\
5\\
2\\
\end{pmatrix}
</math>

Túto maticovú rovnicu môžeme riešiť napríklad Gausovou eliminačnou metódou.

===Lagrangeov tvar interpolačného polynómu===
Pre dané body existuje iba jeden itnerpolačný polynóm. Rozdiel je len v spôsobe ako sa tento polynóm vypočíta. Lagrangeov interpolačný polynóm využíva špeciálny tvar polynómov, ktoré sa nazývajú Lagrangeove polynómy. Pre Langrangeov tvar intepolačného polynómu platia nasledujúce vzťahy:

<math>L(x) = \sum_{j=0}^{n} y_j \ell_j(x) </math>

<math>\ell_j(x) = \prod_{i=0,\, i\neq j}^{n} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)} \cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j-1})} \frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})} \cdots \frac{(x-x_{n})}{(x_j-x_{n})}</math>

Kde L(x) je výsledný intepolačný polynóm a <math>\ell_j(x)</math> sú Lagrangeove interpolačné polynómy (stupňa j).

==Riešenie v jazyku Java==
Triedu Extrapolacia.java doplníme o nasledujúcu metódu:

<source lang="java">
public double interpolacia(double x) {
double lag, lag_pol = 0;
int j, i;
for (j = 0; j < this.body.size() ; j++) {
lag = 1.0;
for (i = 0; i < this.body.size() ; i++) {
if (i == j) {
continue;
}
lag *= (x - this.body.get(i).x) / (this.body.get(j).x - this.body.get(i).x);
}
lag_pol += this.body.get(j).y * lag;
}
return lag_pol;

}
</source>

@@ Riadok 64: / Riadok 64: @@
 <math>\ell_j(x) = \prod_{i=0,\, i\neq j}^{n} \frac{x-x_i}{x_j-x_i} = \frac{(x-x_0)}{(x_j-x_0)} \cdots \frac{(x-x_{j-1})}{(x_j-x_{j-1})} \frac{(x-x_{j+1})}{(x_j-x_{j+1})} \cdots \frac{(x-x_{n})}{(x_j-x_{n})}</math>
-Kde L(x) je výsledný intepolačný polynóm a <math>\ell_j(x)</math> sú Lagrangeove interpolačné polynómy (stupňa j).
+Kde L(x) je výsledný interpolačný polynóm a <math>\ell_j(x)</math> sú Lagrangeove interpolačné polynómy (stupňa j).
 ==Riešenie v jazyku Java==
-Triedu Extrapolacia.java doplníme o nasledujúcu metódu:
+Pre implementáciu Lagrangeovho tvaru interpolačného polynómu využijeme triedu Extrapolator. Vstupné body sú rovnako ako pri aproximácii uložené v zozname bodov ''body''.
 <source lang="java">
@@ Riadok 87: / Riadok 89: @@
+     }
 </source>

Java - algoritmy interpolácie - História úprav

Juraj na 08:06, 11. máj 2011

Juraj: Vytvorená stránka „{{navigacne menu - java}} Interpolácia je matematický algoritmus, kde máme k dispozícii ''n'' bodov v rovine XY a úlohou je nájsť taký polynóm, ktorý prechádza c…“