Juraj na 20:01, 15. december 2010

2010-12-15T20:01:38Z

Juraj na 19:58, 15. december 2010

2010-12-15T19:58:43Z

Juraj: Vytvorená stránka „Späť na "Numerická matematika" ==Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc (metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi…“

2010-12-15T15:11:54Z

Vytvorená stránka „Späť na "Numerická matematika" ==Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc (metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi…“

Nová stránka

Späť na "[[Numerická matematika]]"

==Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc (metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi, iteračná metóda)==
Uvedenými metódami (pre každý príklad si vyberte jednu) nájdite s presnosťou <math>\varepsilon ={{10}^{-5}}</math> reálne korene rovníc, spĺňajúcich zadanú podmienku.

#<math>{{x}^{3}}-x-1=0,\text{ }x\in \left( 1,3;\text{1}\text{,4} \right)</math>
#<math>{{x}^{3}}+x-1000=0,\text{ }\,</math> najväčší kladný koreň
#<math>{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+10x-10=0,\text{ }x\in \left( 1,5;\text{1}\text{,7} \right)</math>
#<math>{{x}^{2}}-\cos x=0,\text{ }x>0\,</math>
#<math>x\tan x=1.28\,</math>, najmenší kladný koreň
#<math>2x-\log x=7\,</math>, najmenší kladný koreň

==Riešenie sústav lineárnych rovníc==
Gausovou eleminačnou metódou riešte sústavy lineárnych rovníc s danou presnosťou (zadané <math>\varepsilon</math>)

1.

<math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>

<math>\begin{align}
& 0,14{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,84{{x}_{3}}=1,11 \\
& 1,07{{x}_{1}}-0,83{{x}_{2}}+0,56{{x}_{3}}=0,48 \\
& 0,64{{x}_{1}}+0,43{{x}_{2}}-0,38{{x}_{3}}=-0,83 \\
\end{align}</math>

2.

<math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>

<math>\begin{align}
& 2,74{{x}_{1}}-1,18{{x}_{2}}+3,17{{x}_{3}}=2,18 \\
& 1,12{{x}_{1}}+0,83{{x}_{2}}-2,16{{x}_{3}}=-1,15 \\
& 0,81{{x}_{1}}+1,27{{x}_{2}}+0,76{{x}_{3}}=3,23 \\
\end{align}</math>

3.

<math>\varepsilon ={{0,5.10}^{-4}}</math>

<math>\begin{align}
& 6{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=11,33 \\
& -{{x}_{1}}+6{{x}_{2}}-{{x}_{3}}=32 \\
& -{{x}_{1}}-{{x}_{2}}-6{{x}_{3}}=42 \\
\end{align}</math>

4.

<math>\begin{align}
& 7,9{{x}_{1}}+5,6{{x}_{2}}+5,7{{x}_{3}}-7,2{{x}_{4}}=6,68 \\
& 8,5{{x}_{1}}-4,8{{x}_{2}}+0,8{{x}_{3}}+3,5{{x}_{4}}=0 \\
& 4,3{{x}_{1}}+4,2{{x}_{2}}-3,2{{x}_{3}}+9,3{{x}_{4}}=8,6 \\
& 3,2{{x}_{1}}-1,4{{x}_{2}}-8,9{{x}_{3}}+3,3{{x}_{4}}=1 \\
\end{align}</math>

Použitím niektorej iteračnej metódy riešte

5.

<math>\begin{align}
& {{x}_{1}}=0,39+0,24{{x}_{2}}-0,48{{x}_{3}}+0,23{{x}_{4}} \\
& {{x}_{2}}=0,72-0,05{{x}_{1}}+0,44{{x}_{3}}+0,31{{x}_{4}} \\
& {{x}_{3}}=0,56-0,10{{x}_{1}}+0,03{{x}_{2}}-0,55{{x}_{4}} \\
& {{x}_{4}}=0,47+0,12{{x}_{1}}-0,07{{x}_{2}}+0,11{{x}_{3}} \\
\end{align}</math>

6.

<math>\begin{align}
& \text{ }4{{x}_{1}}+0,24{{x}_{2}}-0,08{{x}_{3}}=8 \\
& 0,09{{x}_{1}}\text{ }+3{{x}_{2}}-0,15{{x}_{3}}=9 \\
& 0,04{{x}_{1}}-0,08{{x}_{2}}\text{ }+4{{x}_{3}}=20
\end{align}</math>

7.

<math>\begin{align}
& 2{{x}_{1}}\text{ }-{{x}_{2}}\text{ }+{{x}_{3}}=-3 \\
& 3{{x}_{1}}+5{{x}_{2}}\text{ }-2{{x}_{3}}=1 \\
& {{x}_{1}}-4{{x}_{2}}+10{{x}_{3}}=0
\end{align}</math>

8.

<math>\begin{align}
& 20,9{{x}_{1}}+1,2{{x}_{2}}+2,1{{x}_{3}}+0,9{{x}_{4}}=21,7 \\
& 1,2{{x}_{1}}+21,2{{x}_{2}}+1,5{{x}_{3}}+2,5{{x}_{4}}=27,46 \\
& 2,1{{x}_{1}}+1,5{{x}_{2}}+19,8{{x}_{3}}+1,3{{x}_{4}}=28,76 \\
& 0,9{{x}_{1}}+2,5{{x}_{2}}+1,3{{x}_{3}}+32,1{{x}_{4}}=49,72
\end{align}</math>

==Interpolačné polynómy==
'''1.''' Zostrojte Lagrangeov interpolačný polynóm, prechádzajúci bodmi

# (2, 0), (4, 3), (6, 5), (8, 4), (10, 1)
# (0, 3), (2, 1), (3, 5), (4, 7
# (1, -7), (3, 5), (4, 8), (6, 14)
# (2, 3), (4, 7), (5, 9), (10, 19)

'''2.''' Nájdite hodnotu funkcie zadanej tabuľkou
{| class=wikitable
|-
!x
| 1|| 2 ||3 ||4 ||5 ||6 ||7
|-
!y
|3 ||7 ||13 ||21 ||31 ||43 ||57
|}
v bode x = 3,1 pomocou Newtonovho interpolačného polynómu.

'''3.''' Zostavte Newtonov interpolačný polynóm funkcie, ktorá je daná tabuľkou
{|class=wikitable
|-
!x
| 0 ||1 ||2 ||3 ||4
|-
!y
| 1|| 4 ||15 ||40 ||85
|}

'''4.''' Zostavte interpolačné polynómy pre funkciu <math>f\left( x \right)=\log x-\frac{x-1}{x}</math> ak sú dané uzly
# x = 1, 2, 4, 8, 10
# x = 2, 4, 8, 10
# x = 2, 4, 8
# x = 4, 8, 10
vo všetkých prípadoch nájdite približnú hodnotu <math>\log 5.25\,</math>

'''5.''' Sú dané hodnoty funkcie <math>f\left( x \right):f\left( 0 \right)=1,\text{ }f\left( 1 \right)=1,\text{ }f\left( 2 \right)=0,\text{ }f\left( 3 \right)=2</math>. Zostrojte interpolačný splajn pre túto funkciu.

'''6.''' Funkcia je daná tabuľkou
{|class=wikitable
|-
!xk
|0,51 ||0,52 ||0,53 ||0,54 ||0,55 ||0,56 ||0,57
|-
!yk
|1,6651 ||1,6820 ||1,6989 ||1,7160 ||1,7333 ||1,7507 ||1,7683
|}

Pomocou splajnou vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x = 0,512, x = 0,535.

==Numerické derivovanie, numerická integrácia==
'''1.''' Nájdite hodnoty integrálu podľa lichobežníkového pravidla a preveďte odhad chyby

#<math>I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{1}{x}dx},\text{ }n=10</math>
#<math>I=\int\limits_{1}^{3}{\frac{1}{1+x}dx},\text{ }n=4</math>
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{1}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=10</math>
#<math>I=\int\limits_{0}^{9}{\sqrt{6x-5}dx},\text{ }n=8</math>
#<math>I=\int\limits_{0,7}^{1,3}{\frac{1}{{{\left( 0,3+2{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}}dx},\text{ }n=17</math>
#<math>I=\int\limits_{4}^{5,2}{\ln xdx},\text{ }n=6</math>

'''2.''' Vypočítajte integrály použitím Simpsonovho pravidla a odhadnite chybu

#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\sin x}{x}dx},\text{ }n=10</math>
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{1+x}dx},\text{ }n=10</math>
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=10</math>
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\sin {{x}^{2}}dx},\text{ }n=10</math>
#<math>I=\int\limits_{0}^{1,2}{\ln \left( 1+{{x}^{2}} \right)dx},\text{ }n=6</math>

'''3.''' Nájdite hodnoty integrálov použitím Gaussovho kvadratúrneho vzorca so zadaným počtom uzlov

#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{{{e}^{{{x}^{2}}}}dx},\text{ }n=6</math>
#<math>I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{\ln \left( 1+x \right)}{1+{{x}^{2}}}dx},\text{ }n=5</math>

==Numerické metódy integrácie obyčajných diferenciálnych rovníc==
'''1.''' Eulerovou metódou riešte diferenciálne rovnice so zadanými počiatočnými podmienkami na intervalu s krokom h a 0.5h

#<math>{y}'=-\frac{1}{{{x}^{2}}}\left( 6-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right),\text{ }y\left( 1 \right)=2,\text{ }a=1,\text{ }b=\frac{3}{2},\text{ }h=0,05</math>
#<math>{y}'=\frac{-xy}{{{\left( 1-{{x}^{2}} \right)}^{0,5}}},\text{ }y\left( 0 \right)=e,\text{ }a=0,\text{ }b=\frac{1}{2},\text{ }h=0,05</math>
#<math>{y}'=-\frac{1}{\cos x}-\frac{\sin x}{\cos x}y,\text{ }y\left( 0 \right)=0,\text{ }a=0,\text{ }b=1,\text{ }h=1</math>

'''2.''' Riešte metódou Runge – Kutta na intervale <math>\left\langle a,b \right\rangle </math> rovnice so zadanými podmienkami

#<math>{y}'=-xy{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{-1}},\text{ }y\left( 0 \right)=2,\text{ }a=0,\text{ }b=0,3,\text{ }h=0,05</math>
#<math>{y}'=y+\left( 1+x \right){{y}^{2}},\text{ }y\left( 0 \right)=1,\text{ }a=0,\text{ }b=0,5,\text{ }h=0,1</math>
#<math>{y}'=\left( y+{{\left( {{y}^{2}}+{{x}^{2}} \right)}^{0,5}} \right){{x}^{-1}},\text{ }y\left( 1 \right)=0,\text{ }a=1,\text{ }b=1,5,\text{ }h=0,1</math>

==Aproximácie reálnych funkcií, metóda najmenších štvorcov==
'''1.''' Metódou najmenších štvorcov aproximujte lineárnou funkciou tabuľkové údaje

a)
{|class=wikitable
|-
!x
|1 ||2 ||3 ||4 ||5 ||6
|-
!y
|2 ||4,9 ||7,9 ||11,1 ||14,1 ||17
|}

b)
{| class=wikitable
|-
!x
|1 ||4 ||9 ||16 ||25
|-
!y
|0,1 ||3 ||8,1 ||14,9 ||23,9
|}

'''2.''' Metódou najmenších štvorcov aproximujte kvadratickou funkciou tabuľkové údaje

a.)
{|class=wikitable
|-
!x
|7 ||8 ||9 ||10 ||11 ||12 ||13
|-
!y
|3,1 ||4,9 ||5,3 ||5,8 ||6,1 ||6,4 ||5,9
|}

b.)
{|class=wikitable
|-
!x
| -3 || -2 || -1 ||0 ||1 ||2 ||3
|-
!y
| -0,71 || -0,01 ||0,51 ||0,82 ||0,88 ||0,81 ||0,49
|}

@@ Riadok 147: / Riadok 147: @@
 '''23. ''' x = 2, 4, 8
-'''24. '''# x = 4, 8, 10
+'''24. ''' x = 4, 8, 10
 vo všetkých prípadoch nájdite približnú hodnotu <math>\log 5.25\,</math>

Doporučené príklady z numerickej matematiky - História úprav

Juraj na 20:01, 15. december 2010

Juraj na 19:58, 15. december 2010

Juraj: Vytvorená stránka „Späť na "Numerická matematika" ==Numerické metódy riešenia algebraických a transcendentných rovníc (metóda polenia intervalu, Newtonova metóda, regula falsi…“