Design of experiments – návrh experimentov, úplný - polovičný faktorový pokus, matematický model

Tento článok patrí do časti Kolokviálna skúška. Materiály tu uvedené sú prípravou na záverečnú štátnu (kolokviálnu) skúšku v študijnom zameraní Manažérstvo kvality produkcie na Fakulte mechatroniky TnUAD.

Vývoj metódy

Plánovanie experimentov DOE predstavuje techniku, ktorá vznikla v agronómii pri systematickej analýze dielčích vplyvov (napr. množstva vlahy, hnojení alebo slnečného žiarenia) na úrodu. Plánom experimentu sa rozumie stanovovanie počtu experimentálnych faktorov, ich úrovní a ich kombinácií. Tento účinný nástroj sa používa na sledovanie a štúdium faktorov alebo parametrov ovplyvňujúcich skúmaný proces. Umožňuje roztriediť faktory na významné a menej významné a to s ohľadom na okolité podmienky, ktoré sú väčšinou neoddeliteľnou súčasťou procesu. Zároveň umožňuje získať informácie o vzájomnom ovplyvňovaní jednotlivých faktorov na vstupe a tým vlastne lepšie spoznať celý proces.

Podstata a účel

Umožňuje súčasne študovať vplyv viacerých nezávislých premenných (faktorov) na sledovanú závislú premennú (odozvu). Zjednodušene možno povedať, že plánovaný experiment je postupnosť vopred naplánovaných pokusov, pri ktorých sa cieľavedome vykonáva zmena vstupných faktorov procesu tak, aby mohli byť pozorovane a vhodným vyhodnotením experimentálnych dát identifikovane odpovedajúce zmeny odozvy. V mnohých oblastiach plánovania a zlepšovania kvality je potrebné vhodným spôsobom identifikovať faktory ovplyvňujúce kritické znaky kvality a vymedziť vhodné nastavenie týchto faktorov umožňujúcich optimalizovať proces s ohľadom na dosiahnutie špecifikovaných hodnôt znakov kvality. Experimentálne metódy sa uplatňujú najmä v prípadoch, kedy o príčinách nezhôd či vzniku skúmaného javu neexistuje dostatok poznatkov a objektívnych informácii, a kedy na základe ekonomicko-technického experimentu možno o tomto jave získať dodatočné či nové zaujímavé informácie. Takže podstatou a účelom je hľadanie takých hodnôt faktorov produkčných procesov, aby sa dosiahli želateľné výsledky.

Želateľnými výsledkami môžu byť:

- určené hodnoty charakteristík kvality, resp. kvantity produktov,

- čím vyššie hodnoty uvažovaných charakteristík

- čím menšie hodnoty uvažovaných charakteristík produktov.

Všeobecný postup pri vypracovávaní DoE

Definícia alebo popis problému

- definovanie cieľa experimentu

- zostavenie expertného týmu a určenie zodpovednosti

- definovanie vplyvov na experiment (riešený problém)

Stanovenie sledovanej premennej

- musí sa vybrať taká premenná, ktorá poskytuje užitočnú informáciu o procese

Výber faktorov a ich úrovni

- nutná znalosť procesu

- osvedčuje sa kombinácia praktických skúseností a teoretických vedomostí

- musia sa vybrať faktory, ktoré sa budú v procese meniť

- vybrať dôležité faktory (každý faktor rádovo zväčšuje experiment)

- určenie dolných a horných hodnôt jednotlivých faktorov

Výber plánu experimentu

- plán experimentu predpisuje nastavenie hodnôt faktorov pre jednotlivé testy experimentu

Uskutočnenie experimentu

- je dôležité sledovať dodržovanie plánu experimentu

Analýza experimentu

- k analýze dát sa používajú štatistické metódy (spracovanie dát uľahčujú štatistické softvéry), výstupy sú vo forme tabuliek alebo grafov

Závery a odporúčania

Príklad

Výber typu plánu experimentu

Počet pokusov úplného plánu experimentu s dvomi úrovňami faktorov je daný vzorcom:

n = 2^k

kde n je počet pokusov

2 – dve úrovne faktorov – dolná a horná hranica, resp. minimálna a maximálna hodnota

k – počet faktorov.

Znížením exponentu o jednotku, čiže na hodnotu k – 1, zníži sa počet pokusov na polovicu a hovorí sa, že je to polovičný plán experimentov

n_p=2^k-1=1/2ⁿ

Polovičný plán je zároveň minimálnym možným zúžením počtu pokusov. Zväčšenie rozsahu zníženia je možné do počtu uvažovaných faktorov, čiže

n ≥ k

Plány pokusov medzi polovičným a najväčším možným znížením sa nazývajú stredné plány experimentov s počtom pokusov ns:

k < n_s <n_p

Okrem týchto plánov sa ešte pracuje so saturovanými plánmi, doplnkovými frakciami a blokmi. Možné sú však aj také plány experimentov, pri ktorých sa postupne na dvoch úrovniach menia jednotlivé faktory a ostatné faktory zostávajú nezmenené na stredných hodnotách a nazývajú sa jednofaktorové plány experimentov. Pri výbere vhodného plánu experimentov sa hľadá taký, ktorý má menej pokusov ako polovičný plán a má pritom najvýhodnejšie skupiny zameniteľných faktorov.

Úplný dvojúrovňový (max, min) experimentálny plán s tromi faktormi A ± 3; B = 4 ± 2; C = 2 ± 1 (ľubovoľných fyzikálnych jednotiek s tromi sériami pokusov Y1, Y2, Y3 je zaznamenaný v tabuľke 1)

Y ̅– aritmetický priemer výsledkov opakovaných pokusov Y₁, Y₂, Y₃

S_Y– stredná kvadratická odchýlka Y₁, Y₂, Y₃

Premenné X faktorov A, B, C sú v tab. 1 prevedené na tzv. kódované premenné X_KOD, podľa vzorca:

Pre každé kódované X_max, X_min potom platí:

X_max = +1

X_min = – 1

V tab. 1 sú uvedené iba znamienka +, –. Vo všeobecnosti môžu na výsledky pokusov vplývať aj interakcie medzi faktormi, ako to zachytáva tab. 2.

Zistenie významnosti faktorov

Významnosť faktorov je daná veľkosťou jeho efektu, pod čím sa rozumie veľkosť zmeny výsledku pokusu Y, vplyvom prechodu faktora z úrovne (–) na úroveň (+), ako to prezentuje tab. 3.

Postup:

Stĺpec (2) sa počíta analogicky zo stĺpca (1)

Stĺpec (3) sa počíta analogicky zo stĺpca (2)

- Y je aritmetický priemer výsledkov opakovaných pokusov.

- Poradie faktorov v poslednom stĺpci musí byť dodržané.

- Počet stĺpcov (1) (2) (3) sa rovná počtu faktorov.

Nájdenie modelu experimentu

Úplný dvojúrovňový model experimentu s faktormi ABC má tvar:

Y = b₀+b₁A+b₂B+b₃C+b₁₂AB+b₁₃AC+b₂₃BC+b₁₂₃ABC

pričom

b1, b2,... b123 sú polovičné hodnoty príslušných efektov faktorov z tab. 3.

Potom pre náš experiment platí:

Y = 16 + 3A + 2,25B + 0,5C + 0,25AB - 0,5AC + 0,25BC + 0,25ABC

Optimalizovanie hodnôt faktorov a iné druhy plánov experimentov

Zhrnutie

- Plánovanie experimentov má za účel nájdenie takých hodnôt faktorov kvality produkčných procesov a produktov, ktoré zaručujú, že sa dosiahne jej želateľná úroveň.

- Za faktory kvality sa považujú kontrolované i rušivé danosti pôsobiace na skúmaný proces.

- Úplný faktorový experiment je viazaný vzťahom

n = u^k ,

kde n je počet pokusov,

u – počet úrovní faktorov,

k – počet faktorov

- Čiastočný faktorový experiment je charakterizovaný znížením k o hodnotu p. Keď p = 1, zníži sa počet pokusov n na polovicu a hovoríme o polovičných plánoch experimentov. Najväčšie možné zníženie počtu pokusov je viazané podmienkou, že ich počet nesmie byť menší ako počet skúmaných faktorov. Čiastočné faktorové experimenty s počtom pokusov medzi polovičným a maximálnym možným znížením sa nazývajú stredové faktorové plány.