Kiwiki - Príspevky používateľa [sk]

Vzorkovací teorém

2010-06-10T21:57:24Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|650px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu. <ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>

<references/>

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

{{Vzorec|:::<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>,|1}}

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

{{Vzorec|:::<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,

:::<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,

:::<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}

:Po úprave ('''''4'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}

:kde

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

{{Vzorec|:::<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}

:z čoho vyplýva:

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|600px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

{{Vzorec|:::<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

{{Vzorec|:::<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|650px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

{{Vzorec|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}

::<ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>

<references/>

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšia literatúra:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-10T21:56:57Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|650px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu. <ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>

<references/>

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

{{Vzorec|:::<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>,|1}}

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

{{Vzorec|:::<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,

:::<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,

:::<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}

:Po úprave ('''''4'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}

:kde

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

{{Vzorec|:::<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}

:z čoho vyplýva:

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|600px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

{{Vzorec|:::<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

{{Vzorec|:::<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|650px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

{{Vzorec|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}

::<ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšia literatúra:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-10T21:53:28Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|650px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu. <ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

{{Vzorec|:::<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>,|1}}

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

{{Vzorec|:::<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,

:::<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,

:::<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}

:Po úprave ('''''4'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}

:kde

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

{{Vzorec|:::<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}

:z čoho vyplýva:

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|600px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

{{Vzorec|:::<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

{{Vzorec|:::<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|650px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

{{Vzorec|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}

::<ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšia literatúra:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-10T21:50:54Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|650px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu. <ref>http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc</ref><ref>http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf</ref><ref>http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf</ref>

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

{{Vzorec|:::<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>,|1}}

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

{{Vzorec|:::<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,

:::<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,

:::<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}

:Po úprave ('''''4'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}

:kde

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

{{Vzorec|:::<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}

:z čoho vyplýva:

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|600px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

{{Vzorec|:::<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

{{Vzorec|:::<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|650px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

{{Vzorec|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšia literatúra:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-10T21:39:22Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|650px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

{{Vzorec|:::<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>,|1}}

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

{{Vzorec|:::<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,

:::<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,

:::<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}

:Po úprave ('''''4'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}

:kde

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

{{Vzorec|:::<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}

:z čoho vyplýva:

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|600px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

{{Vzorec|:::<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

{{Vzorec|:::<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|650px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

{{Vzorec|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšia literatúra:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-10T21:37:35Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|650px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

{{Vzorec|:::<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>,|1}}

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

{{Vzorec|:::<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,

:::<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,

:::<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}

:Po úprave ('''''4'''''):

{{Vzorec|:::<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}

:kde

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

{{Vzorec|:::<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}

:z čoho vyplýva:

{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

{{Vzorec|:::<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

{{Vzorec|:::<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

{{Vzorec|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšia literatúra:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Diskusia:Vzorkovací teorém

2010-06-04T21:46:20Z

Stewo:

vzorce je potrebne prepísat do wiki - nepouzivať bitové mapy (pf)

== Vzorce ==

No keby som tie vzorce vedel prepísať, tak by som to urobil, ale niesu tam niektoré znaky, ktoré sú v nich použité =/
----
Vzorce:
[[Pomoc:Matematické_vzorce]]

alebo omnoho podrobnejsie: http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Formula

([[Redaktor:Juraj|Juraj Ďuďák]] 19:54, 2. jún 2010 (CEST))

----
Dik moc idem na to.

Ak to nebude dobre, tak už newiem. Ešte by som chcel tie wrorce dať do stredu ak by sa dalo...

Have a nice day =)
--[[Redaktor:Stewo|Stewo]] 20:33, 4. jún 2010 (CEST)
----
Šablóna Vzorec [[Kiwiki:Kiwiki_šablóny#Vzorec s číslovaním]] dovoluje vložiť vzorec aj s číslovaním.

Vzorec v strede nie je podmienkou. napisanim dvojbodky (<nowiki>:</nowiki>) pred začiatok riadka dosiahnete odsadenie jeden tabulátor.
[[Redaktor:Juraj|Juraj Ďuďák]] 21:59, 4. jún 2010 (CEST)

----
Môže to tak byť ? Ako by sa dali tie príkazy obrázkov vzorcov nastawiť ako "komentár", tak aby sa to nezobrazowalo =).

--[[Redaktor:Stewo|Stewo]] 23:23, 4. jún 2010 (CEST)

Vzorkovací teorém

2010-06-04T21:41:58Z

Stewo: /* Zdroj literatúry */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

{{Vzorec|:::<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>,|1}}

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]
{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]
{{Vzorec|:::<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]
{{Vzorec|:::<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,

:::<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,

:::<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]
{{Vzorec|:::<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]
{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]
{{Vzorec|:::<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]
{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]
{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]
{{Vzorec|:::<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]
{{Vzorec|:::<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]
{{Vzorec|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšia literatúra:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-04T21:38:06Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

{{Vzorec|:::<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>,|1}}

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]
{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]
{{Vzorec|:::<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]
{{Vzorec|:::<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,

:::<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,

:::<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]
{{Vzorec|:::<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]
{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]
{{Vzorec|:::<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]
{{Vzorec|:::<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]
{{Vzorec|:::<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]
{{Vzorec|:::<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]
{{Vzorec|:::<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]
{{Vzorec|:::<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšie materiály:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Diskusia:Vzorkovací teorém

2010-06-04T21:23:51Z

Stewo:

vzorce je potrebne prepísat do wiki - nepouzivať bitové mapy (pf)

== Vzorce ==

No keby som tie vzorce vedel prepísať, tak by som to urobil, ale niesu tam niektoré znaky, ktoré sú v nich použité =/
----
Vzorce:
[[Pomoc:Matematické_vzorce]]

alebo omnoho podrobnejsie: http://meta.wikimedia.org/wiki/Help:Formula

([[Redaktor:Juraj|Juraj Ďuďák]] 19:54, 2. jún 2010 (CEST))

----
Dik moc idem na to.

Ak to nebude dobre, tak už newiem. Ešte by som chcel tie wrorce dať do stredu ak by sa dalo...

Have a nice day =)
--[[Redaktor:Stewo|Stewo]] 20:33, 4. jún 2010 (CEST)
----
Šablóna Vzorec [[Kiwiki:Kiwiki_šablóny#Vzorec s číslovaním]] dovoluje vložiť vzorec aj s číslovaním.

Vzorec v strede nie je podmienkou. napisanim dvojbodky (<nowiki>:</nowiki>) pred začiatok riadka dosiahnete odsadenie jeden tabulátor.
[[Redaktor:Juraj|Juraj Ďuďák]] 21:59, 4. jún 2010 (CEST)

----
Môže to tak byť ? Ako by sa dali tie príkazy na obrázky nastawiť ako "komentár", tak aby sa to nezobrazowalo =).

PS: Dwojbodka nefunguje, skúšal som aj center a ani to nejde =/.

--[[Redaktor:Stewo|Stewo]] 23:23, 4. jún 2010 (CEST)

Vzorkovací teorém

2010-06-04T21:06:05Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

{{Vzorec|<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>,|1}}

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]
{{Vzorec|<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,|2}}

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]
{{Vzorec|<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.|3}}

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]
{{Vzorec|<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,

<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,

<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.|4}}

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]
{{Vzorec|<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,|5}}

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]
{{Vzorec|<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.|5-2}}

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]
{{Vzorec|<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,|6}}

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]
{{Vzorec|<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.|6-2}}

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]
{{Vzorec|<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>|7}}

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]
{{Vzorec|<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>|7-2}}

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]
{{Vzorec|<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>|7-3}}

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]
{{Vzorec|<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>|7-4}}

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšie materiály:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-04T20:37:00Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>,

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]
<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>,

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]
<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>.

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]
<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>,

<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(t-nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>,

<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>.

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]
<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>,

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]
<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>.

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]
<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>,

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]
<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>.

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]
<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]
<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]
<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]
<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšie materiály:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-04T20:31:24Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]
<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]
<math>x_v=x(t)\delta_T(t)</math>

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]
<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>

<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>

<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]
<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Bigr[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Bigr]</math>

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]
<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]
<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]
<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]
<math>\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)*\delta_\omega v(\omega)\Big]=\frac{1}{T}\Bigg[\overline{X}(\omega)*[\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)\Bigg]=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^\infty\Big[\overline{X}(\omega-n\omega_v)\Big]</math>

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]
<math>f_v=\frac{1}{T}=2f_m</math>

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]
<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]
<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšie materiály:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-04T19:48:07Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]
<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]
<math>X_v=x(t)\delta_T(t)</math>

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]
<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>

<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>

<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]
<math>x_v(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{T}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]
<math>\overline{X_v}(\omega)=\Im\big\{x_v(t)\big\}</math>

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]
<math>x_v\ge2\omega_m\rArr\frac{2\pi}{T}\ge4\pi f_m</math>

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]
<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]
<math>x\big[n\big]=x\big[nT\big]\quad pre\quad n\isin(-\infin;\infin)</math>

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]
<math>t=nT=\frac{n}{f_v}</math>

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšie materiály:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-04T19:16:49Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]
<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]
<math>X_v=x(t)\delta_T(t)</math>

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]
<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>

<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>

<math>x_v(t)=x(t)\delta_T(t)\longleftrightarrow\overline{X_v}(\omega)=\frac{1}{2\pi}\Big[\overline{X}(\omega)\ast\omega_v\delta_\omega v(\omega)\Big]</math>

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšie materiály:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-04T19:06:22Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]
<math>T\le\frac{1}{2f_m}</math>

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]
<math>X_v=x(t)\delta_T(t)</math>

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]
<math>x(t)\longleftrightarrow\overline{X}(\omega)</math>

<math>\delta_T(t)=\sum_{n=-\infty}^\infty\delta(nT)\longleftrightarrow\omega_v\delta_\omega v(\omega)=\omega_v\sum_{n=\infty}^\infty\delta(\omega-n\omega_v)</math>

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšie materiály:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Diskusia:Vzorkovací teorém

2010-06-04T18:34:44Z

Stewo:

Diskusia:Vzorkovací teorém

2010-06-04T18:33:40Z

Stewo:

Vzorkovací teorém

2010-06-04T18:27:49Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

<math>X(\omega) =
\begin{cases}
definovane\quad pre\big|\omega\big|<\omega_m\\
0\qquad\qquad\qquad pre\big|\omega\big|>\omega_m
\end{cases}</math>

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšie materiály:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Diskusia:Vzorkovací teorém

2010-06-04T18:04:37Z

Stewo:

Súbor:Proces periodického vzorkovania.png

2010-06-02T18:39:46Z

Stewo: bola nahraná nová verzia „Súbor:Proces periodického vzorkovania.png“

Súbor:Proces periodického vzorkovania.png

2010-06-02T18:38:45Z

Stewo: bola nahraná nová verzia „Súbor:Proces periodického vzorkovania.png“

Súbor:Proces periodického vzorkovania.png

2010-06-02T18:38:09Z

Stewo: bola nahraná nová verzia „Súbor:Proces periodického vzorkovania.png“

Súbor:Proces periodického vzorkovania.png

2010-06-02T18:37:50Z

Stewo: bola nahraná nová verzia „Súbor:Proces periodického vzorkovania.png“

Súbor:Proces periodického vzorkovania.png

2010-06-02T18:07:45Z

Stewo: bola nahraná nová verzia „Súbor:Proces periodického vzorkovania.png“

Vzorkovací teorém

2010-06-02T18:04:39Z

Stewo: /* Zdroj literatúry */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]

=Zdroj literatúry=

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšie materiály:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-02T18:02:59Z

Stewo: /* Zdroj literatúry */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]

==Zdroj literatúry==

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

[2]. ONDRÁČEK, Oldřich. Signály a sústavy. 1. vyd. 1999. ISBN 80-227-1254-X.

Ďalšie materiály:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-06-02T18:00:56Z

Stewo: /* Zdroj literatúry */

[[Category:Prevodníky]]
__NOTOC__
{{Draft}}

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]

==Zdroj literatúry==

[1]. ONDRÁČEK, Oldřich. Diskrétne signály a sústavy. 1. vyd. 2002. ISBN 80-227-1649-9.

Ďalšie materiály:

[1]. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

[2]. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

[3]. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

[4]. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Diskusia:Vzorkovací teorém

2010-06-02T17:45:49Z

Stewo: /* Vzorce */ nová sekcia

Vzorkovací teorém

2010-05-31T19:02:13Z

Stewo: /* Zdroj literatúry */

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|Podmienka]]

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|Vzorkovacia podmienka]]

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|thumb|800px|Obr. 2. Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]

[[Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png|center|thumb|800px|Obr. 3. Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu]]

:Spektrum '''''Xv(ω)''''' vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' odvodíme zo vzťahu ('''5'''):

[[Súbor:7.png|center|7]]

:Zo vzťahu ('''7''') a z '''obr. 3.c''' vidno, že ak vzorkujeme signál '''''x(t)''''' v rovnomerných časových intervaloch '''''T≤1/2fm''''' sekúnd, potom funkcia spektrálnej hustoty vzorkovaného signálu '''''xv(t)''''' (t.j. „ideálnych vzoriek“) obsahuje všetky informácie o '''''Xv(ω)''''', a tým aj o pôvodnom signáli '''''x(t)'''''. Ideálne vzorky sú plne určené periódou vzorkovania a obyčajnými vzorkami [[Súbor:7-pomoc.png|x[nT]]]. Preto aj množina obyčajných vzoriek obsahuje informáciu o celom časovom priebehu frekvenčne obmedzeného signálu '''''x(t)'''''.

:Frekvencia

[[Súbor:7-2.png|center|7-2]]

:sa nazýva '''''Nyquistova frekvencia''''' (rýchlosť) alebo kritická frekvencia vzorkovania pre frekvenčne obmedzený signál.

:'''''Periodické''''' alebo '''''rovnomerné vzorkovanie''''' je opísané vzťahom

[[Súbor:7-3.png|center|7-3]]

:Proces periodického vzorkovania je znázornený na '''obr. 4'''.

[[Súbor:Proces periodického vzorkovania.png|center|thumb|800px|Obr. 4. Proces periodického vzorkovania]]

:Periodické vzorkovanie určuje vzájomný vzťah medzi časovými premennými '''''t''''' a '''''n''''' signálu spojitého a diskrétneho v čase. Tieto premenné sú vzájomne lineárne viazané cez periódu vzorkovania alebo rýchlosť vzorkovania '''''fv=1/T''''' vzťahom:

[[Súbor:7-4.png|center|7-4]]

==Zdroj literatúry==

1. .

Ďalšie materiály:

1. Základy číslicového merania: http://webmail.stuba.sk/~peter.kukuca/pedagogika/ADC2003.doc

2. Signály: http://sdelovacka.kbx.cz/data/statnice/BEST/20.pdf

3. Číslicové meranie: http://www.kukuca.sk/Meranie/Meranie-P-02.pdf

4. FEI STU-KMER :http://www.kmer.elf.stuba.sk/index.php?searchword=vzorkova&option=com_search&Itemid=

Vzorkovací teorém

2010-05-31T18:57:24Z

Stewo: /* Zdroj literatúry */

Vzorkovací teorém

2010-05-31T18:34:03Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

Vzorkovací teorém

2010-05-31T18:25:51Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

Súbor:7-pomoc.png

2010-05-31T18:24:42Z

Stewo:

Súbor:Proces periodického vzorkovania.png

2010-05-31T18:18:32Z

Stewo:

Vzorkovací teorém

2010-05-30T22:19:51Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

Súbor:Periodické (rovnomerné) vzorkovanie analógového signálu.png

2010-05-30T22:17:25Z

Stewo:

Vzorkovací teorém

2010-05-30T21:35:17Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

Vzorkovací teorém

2010-05-30T21:12:25Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

Vzorkovací teorém

2010-05-30T21:11:58Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

Vzorkovací teorém

2010-05-30T21:10:58Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu */

Vzorkovací teorém

2010-05-30T21:08:56Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

<H1_CSS chapter="1" />
=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu 2.png|center|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

:Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

:Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

[[Súbor:1.png|center|1]]

:je jednoznačne určený svojimi hodnotami odoberanými v rovnomerných časových intervaloch

[[Súbor:2.png|center|2]]

:kde '''''T''''' je perióda vzorkovania.

[[Súbor:Ideálne vzorkovanie.png|center|Ideálne vzorkovanie]]

:Táto vzorkovacia teoréma sa tiež niekedy označuje ako '''''Nyquistova''''', '''''Shannonova''''', alebo '''''Koteľnikova''''' teoréma.

:Analógový signál '''''x(t)''''' sa vzorkuje každých T sekúnd '''''T=1/2fm''''' alebo v intervaloch kratších ako '''''T=1/2fm''''' sekúnd ('''''T<1/2fm'''''). Z toho vyplýva, že tieto vzorky obsahujú informáciu o signáli '''''x(t)''''' pre každú z hodnôt '''''t'''''. Modulové spektrum vzorkovaného signálu musí potom obsahovať minimálne dvakrát vyššiu frekvenciu, než je medzná frekvencia '''''fm''''' modulového spektra '''''X(ω)''''' spojitého signálu '''''x(t)'''''.

:Iným spôsobom povedané, analógový signál sa musí vzorkovať '''''minimálne dvakrát''''' v každej perióde jeho najvyššej frekvenčnej zložky alebo vzorkovacia frekvencia musí byť dvakrát vyššia ako je frekvencia analógového signálu.

:Vzorkovaciu teorému dokážeme pomocou frekvenčnej konvolučnej teorémy. Uvažujeme analógový signál '''''x(t)''''', ktorého funkcia spektrálnej hustoty '''''X(ω)''''' je reálna a nemá žiadne rfekvenčné zložky nad '''''ωm''''' ('''''obr. 3 a'''''). To znamená, že funkcia '''''X(ω)''''' je nulová pre '''''|ω|>ωm'''''. Vynásobime signál '''''x(t)''''' periodickou postupnosťou jednotlivých impulzov '''''δT(t)'''''. Výsledný signál bude postupnosť impulzov umiestnených v rovnomerných časových intervaloch '''''T''''' s veľkosťou '''''x[nT]''''' rovnajúcou sa hodnote '''''x(t)''''' v čase '''''t=nT'''''. Súčin '''''x(t)δT(t)''''' predstavuje vzorkovaný signál '''''xv(t)''''', ktorý je vzorkovaný v rovnomerných intervaloch '''''T''''' ('''''obr. 3 b'''''):

[[Súbor:3.png|center|3]]

:Funkciou spektrálnej hustoty signálu '''''x(t)''''' je '''''X(ω)''''' a Fourierov obraz '''''δT(t)''''' je '''''ωvδωv(ω)''''', kde '''''ωv=2π/T'''''. Na základe frekvenčnej konvolučnej teorémy platí:

[[Súbor:4.png|center|4]]

:Po úprave ('''''4'''''):

[[Súbor:5.png|center|5]]

:kde [[Súbor:5-2.png|5-2]]

:Vzťah ('''''5''''') je znázornený na '''''obr. 3 c'''''. Vidíme, že '''''Xv(ω)''''' sa opakuje s periódou '''''ωv''''', ktorá musí spĺňať podmienku:

[[Súbor:6.png|center|6]]

:z čoho vyplýva:

[[Súbor:6-2.png|center|6-2]]

==Zdroj literatúry==

1. .

Vzorkovací teorém

2010-05-30T21:00:00Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

Vzorkovací teorém

2010-05-30T20:54:24Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

Vzorkovací teorém

2010-05-30T20:50:18Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

Vzorkovací teorém

2010-05-30T20:41:10Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu */

Vzorkovací teorém

2010-05-30T20:37:51Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma */

Vzorkovací teorém

2010-05-30T20:03:59Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu */

Vzorkovací teorém

2010-05-30T19:55:54Z

Stewo: /* Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu */

=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu 2.png|center|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako '''''vzorkovacia perióda''''' a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako '''''vzorkovacia kruhová frekvencia'''''. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)

Vzorkovací teorém

2010-05-30T19:51:55Z

Stewo: Vytvorená stránka „=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu= [[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu 2.png|center|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového si…“

=Vzorkovacia teoréma a spektrum vzorkovaného signálu=

[[Súbor:Postup digitalizácie analógového signálu 2.png|center|Obr. 1. Postup digitalizácie analógového signálu]]

Pred samotným odvodením vzorkovacej teorémy si najskôr ukážeme vhodnú metódu, ktorá predstavuje vzorkovanie časovo spojitého signálu v rovnomerných intervaloch. Na '''obr. 1''' je postup digitalizácie analógového signálu. Užitočná je metóda použitia periodickej postupnosti Dirackových impulzov '''''δT(t)''''', ktorou vynásobíme časovo spojitý signál '''''x(t)'''''. Tento spôsob známy ako ideálne vzorkovanie je znázornený na '''obr. 2'''. Periodická postupnosť '''''δT(t)''''' je označovaná ako vzorkovacia funkcia, perióda '''''T''''' ako vzorkovacia perióda a základná kruhová frekvencia '''''ω0=2π/T''''' ako vzorkovacia kruhová frekvencia. Vzorkovacia teoréma určuje podmienku pre veľkosť periódy '''''T''''' medzi vzorkami rovnomerne časovo spojitého signálu.

=Vzorkovacia teoréma=

Každý časový priebeh '''''x(t)''''', ktorého modulované spektrum je frekvenčne zhora obmedzené kruhovou frekvenciou '''''ωm=2πfm''''' (nad touto frekvenciou je modulové spektrum spojitého signálu nulové)